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2023年考研数学一真题及答案

前言

考研对许多人来说是一个重要的里程碑，特别是对于数学

专业的考生来说。由于数学一是考研数学的核心科目之一，掌

握往年真题对备考至关重要。本文将提供2023年考研数学一

真题及答案，供考生参考。

第一大题

1.1题目

在平面上考虑不与坐标轴平行的抛物线在平面上考虑不与坐标轴平行的抛物线，若该

抛物线与直线抛物线与直线相切，求相切，求与与的值。

1.2答案

根据题意，抛物线与直线相切，即直线根据题意，抛物线与直线相切，即直线是该抛

物线的切线。由切线的性质，直线的斜率等于抛物线的一阶导

数在相切点的值。所以，我们需要求得抛物线的一阶导数。

首先，对抛物线方程两边同时取导数，得到：

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根据直线的斜率等于抛物线的一阶导数在相切点的值，我

们可以得到：们可以得到：

将以上结果代入前面的方程中，得到：将以上结果代入前面的方程中，得到：将以上结果代入前面的方程中，得到：

由于抛物线与直线相切，所以切点的横坐标即为抛物线和

直线的交点。将直线的交点。将==代入抛物线方程中，得到：

最终，求得最终，求得，即，即的值为-2，通过代入抛物线

方程，我们可以得到方程，我们可以得到。

所以，所以，，，。

第二大题

2.1题目

证明：若函数证明：若函数在区间在区间上连续，在区间上连续，在区间上连续，在区间

内可导，并且满足内可导，并且满足(f’(x)

，则函数，则函数在区间在区间上是单调的。

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2.2答案

要证明函数要证明函数在区间在区间上是单调的，我们可以

利用函数的导数进行证明。

根据题意，我们已知函数根据题意，我们已知函数在区间在区间上连续，

且在区间且在区间内可导。我们需要证明在这个条件下，函数内可导。我们需要证明在这个条件下，函数

是单调的。

假设在区间假设在区间内存在两个点内存在两个点和和，并且，并且

，但是对应的函数值却不满足单调性，即，但是对应的函数值却不满足单调性，即，但是对应的函数值却不满足单调性，即

。

由于函数由于函数在区间在区间内可导，我们可以利用拉

格朗日中值定理，根据函数导数的定义，得到一个介于格朗日中值定理，根据函数导数的定义，得到一个介于

和和之间的点之间的点，使得，使得(f’((f’(与与

(f’((f’(相等。

根据题意，根据题意，(f’(x)

，所以在这个区间上，函数在这两个点的导数不可能相

等。这与拉格朗日中值定理矛盾。

所以，假设错误。函数所以，假设错误。函数在区间在区间在区间上是单调的。

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结论

本文提供了2023年考研数学一的两道题目，并给出了详