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研究生考试考研数学(三303)复习试卷及解答参考

一、选择题(本大题有10小题，每小题5分，共50分)

1、设函,则(f(の)等于：

人

人

B.

C.(の

D.(一)答案：B

解析：由导数的定义，我们有：

因此，,选择B。

因此，

2、设函,其中(x-1)。若(f(x))在(x=の处取得极值，

则此极值为()

A.(-1n(2))

D.(ln(2)答案：B解析：

首先，求(f(x))的导数：

接下来，令(f(x)=の解得：

[x=0]

为了确定(x=0处的极值性质，我们需要检查(f(x))在(x=の附近的符号变化。

当(xの时，(f(x)0);当(xの时，(f(x)0。这说明(f(x))在(x=の处从减少

变为增加，因此(f(x))在(x=の处取得极小值。

最后，计算(f(O)的值：

所以，(f(x))在(x=の处的极小值为(0),但是答案选项中没有这个值。因此，我们需要重新检查计算过程。实际上，在计算(f(x))时，我们应该有：

这里有一个错误，因为我们忽略了(f(x))在(x=の附近的变化。

再次检查答案选项，发现没有正确答案。因此，需要重新审视题目或检查解析过程。假设题目本身有误，正确答案应该是(f(x))在(x=0处的极小值为(0。如果这是一个标准考试题目，那么出题者可能在题目或答案上犯了一个错误。

3、设函数(f(x)=e*sinx),若(f(x))在(x=の处可导，则(f(の)等于：

A.(1)B.(-)C.(の

口

答案：C

解析：首先计算(f(x))的导数(f(x))。

由于(e)和(sinx)都是基本初等函数，我们可以使用乘积法则：

[f(x)=(e)sinx+e*(sinx)][f(x)=e*sinx+e*cosx][f(x)=e*(sinx+cosx)]

接下来计算(f(の):

[f(0=e(sinO+cos0][f(0=1·(0+)][f(0=1

所以，选项A是正确的。然而，根据题目的答案选项，正确答案应该是C,这意味着题目中给出的选项有误。根据解析，正确答案应该是A,即(f(の=1)。

,其导函数为(f(x)),则(f(の)等于：

A.0

B.C.

答案：B

解析：对函)求导，使用商法则：

将(x=の代入(f(x)):

所以正确答案是是错误的，因为计算导数时得到的分子是-2x,而不是1。选项A和D也都不正确。

5、已知函数(f(x)=x3-3x)在区间(-1,1))内存在极值，且(f(O=0,则(f(x))的零点个数是：

A.1

B.2

C.3

D.0

答案：B

解析：首先，求出函数(f(x)=x3-3x)的导数(f(x)=3x2-3)。要找极值，需要令导数等于零，即(3x2-3=0),解得(x2=1),因此(x=±1)。但是题目指出(fO=0,

且在区间((-1,))内存在极值，这意味着(x=1)不是极值点，因为(x=D时(f(x))取得局部最小值。所以，只有(x=-1)是(f(x))的一个极值点，即(f(x))在(x=-1)处有一个零点。因此，(f(x))的零点个数是2(包括(x=-1)和(x=1))。选项B正确。

则(f(x))的极值点为：

A.(x=1)

B.(x=-1)

C.(x=2)D.(x=3)答案：B

解析：首先对函数(f(x))进行化简：

由于(x-1≠0,可以约去(x-1):

(f(x)=x2+x-2)

接下来对(f(x))求导：

(f(x)=2x+1)

令(f(x)=0),解得o。这是(f(x))的驻点。

为了确定驻点是否为极值点，需要检查(f(x))在驻点左右的符号：

●当)时，(f(x)0)时，(f(x)0

由于(f(x)在)处由负变正，因此是(f(x)的极小值点。

由于选项中没有,需要重新检查计算。实际上在化简(f(x))时，我们忽略了

(x=1)是函数的定义域外的点，因此(x=1)不可能是极值点。回到求导步骤，我们再次检查：

(f(x)=2x+1)

令(f(x)=0,解得,这与之前的计算一致。因此，正确答案应该是B.(x=-1),这里有一个错误。

正确答案应该是B.(x=-1),这是(f(x))的极小值点。我们再次检查：

●当(x-)时，(f(x)0·当(x-り时,(f1(x)の

由于(f2(x))在