线性规划的实际应用举例.pdfVIP

线性规划的实际应用举例

为了便于同学们掌握线性规划的一般理论和方法，本文拟就简单的线性规划(即两

个变量的线性规划)的实际应用举例加以说明。

1物资调运中的线性规划问题

例1A，B两仓库各有编织袋50万个和30万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运40万个

到甲地，20万个到乙地。已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个、180元/

万个；从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个、150元／万个。问如何调运，能

使总运费最小?总运费的最小值是多少?

解：设从A仓库调运x万个到甲地，y万个到乙地，总运费记为z元。那么需从B仓库调

运40-x万个到甲地，调运

20-y万个到乙地。

从而有

z=120x+180y+100(40-x)+150·(20-y)=20x+30y+7000。

作出以上不等式组所表示的平面区域(图1)，即可行域。

令z=z-7000=20x+30y.

作直线l：20x+30y=0，

把直线l向右上方平移至l的位置时，直线经过可行域上的点M(30，0)，且与原点距离最小，

l

即x=30，y=0时，

z=20x+30y取得最小值，从而z=z+7000=20x+30y+7000亦取得最小值，

z=20×30+30×0+7000=7600(元)。

min

答：从A仓库调运30万个到甲地，从B仓库调运10万个到甲地，20万个到乙地，可使总

运费最小，且总运费的最小值为7600元。

2产品安排中的线性规划问题

例2某饲料厂生产甲、乙两种品牌的饲料，已知生产甲种饲料1吨需耗玉米0.4吨，麦麸

0.2吨，其余添加剂O.4

吨；生产乙种饲料1吨需耗玉米0.5吨，麦麸0.3吨，其余添加剂0.2吨。每1吨甲种

饲料的利润是400元，每1吨乙种饲料的利润是500元。可供饲料厂生产的玉米供应

量不超过600吨，麦麸供应量不超过500吨，添加剂供应量不超过300吨。问甲、乙

两种饲料应各生产多少吨(取整数)，能使利润总额达到最大?最大利润是多少?

分析：将已知数据列成下表1。

表1例2表

解：设生产甲、乙两种饲料分别为x吨、y吨，利润总额为z元，那么

z=400x+500y。

作出以上不等式组所表示的平面区域(图2)即可行域。

作直线l：400x+500y=0。并把l向右上方平移，由于l：4x+5y=6000与l平行，所以线段

1

MN上所有坐标都是整数的点(整点)都是最优解。易求得M(250，1000)，N(0，1200)。

取整点M(250，1000)，即x=250，y=1000时，

z=400×250+500×1000=600000(元)=60(万元)。

max

答：可安排生产甲种饲料250吨，乙种饲料1000吨，能使利润总额达到最大。最大利润为

60万元。

注：课本题中出现的线性规划问题大都有唯一的最优解。例2使我们认识到最优解的个数还

有其他可能，这里不再深入探究。

3配料与下料中的线性规划问题

例3甲、乙、丙三种食物的维生素A，B含量及成本如表2。

表2例3表

甲乙丙

维生素A(单位/千克)600700400

维生素B(单位/千克)800400500

成本(元/千克)1194

某食物营养研究所想用xkg甲种食物