专题17 几何最值之胡不归巩固练习（提优）-冲刺2021年中考几何专项复习（解析版）.pdfVIP

几何最值之胡不归巩固练习

1．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA＝，有

一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E

点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．

【解答】

【解析】过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，

∵EH∥AB，

∴∠HEB＝∠ABE，

∴tan∠HED＝tan∠EBA＝，

设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m，

∴蚂蚁从D爬到E点的时间＝＝4（s）

若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间＝＝4（s），

∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，

∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E

点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，

作AG⊥EH于G，则AD＋DH≥AH≥AG，

∴AD＋DH的最小值为AQ的长，

当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），

直线BE交y轴于C点，如图，

在Rt△OBC中，∵tan∠CBO＝，

∴OC＝4，则C（0，4），

设直线BE的解析式为y＝kx＋b，

把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，

∴直线BE的解析式为，

解方程组得或，则E点坐标为，

∴，

∴蚂蚁从A爬到G点的时间＝（s），

即蚂蚁从A到E的最短时间为．

2．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．

（1）证明：CE是⊙O的切线；

（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；

（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径

AB的长．

【解答】（1）见解析；（2）；（3）AB＝8

【解析】（1）连接OC，如图，

∵CA＝CE，∠CAE＝30°，

∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，

∴∠OCE＝90°，

∴CE是⊙O的切线；

（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图，

由题可得CH＝h．

在Rt△OHC中，CH＝OC•sin∠COH，

∴h＝OC•sin60°＝OC，

∴OC＝h，

∴AB＝2OC＝h；

（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图，

则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝（180°﹣60°）＝60°．

∵OA＝OF＝OC，

∴△AOF、△COF是等边三角形，

∴AF＝AO＝OC＝FC，

∴四边形AOCF是菱形，

∴根据对称性可得DF＝DO．

过点D作DH⊥OC于H，

∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，

∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，

∴CD＋OD＝DH＋FD．

根据两点之间线段最短可得：

当F、D、H三点共线时，DH＋FD（即CD＋OD）最小，

此时FH＝OF•sin∠FOH＝OF＝6，

则OF＝4，AB＝2OF