专题11.3 二项式定理（讲）（原卷版）_1.doc

专题11.3二项式定理

1.能用计数原理证明二项式定理；

2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

知识点一二项式定理

(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；

(2)通项公式：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，它表示第r＋1项；

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).

知识点二二项式系数的性质

性质

性质描述

对称性

与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ceq\o\al(k,n)＝Ceq\o\al(n－k,n)

增减性

二项式系数Ceq\o\al(k,n)

当k＜eq\f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递增的

当k＞eq\f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递减的

二项式系数最大值

当n为偶数时，中间的一项取得最大值

当n为奇数时，中间的两项与取得最大值

知识点三各二项式系数和

(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.

(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.

【知识必备】(a＋b)n的展开式形式上的特点

(1)项数为n＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

(4)二项式的系数从Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).

考点一通项公式及其应用

【典例1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2)(1+x）4的展开式中x3的系数为()

A．12 B．16 C．20 D．24

【举一反三】（浙江杭州高级中学2019届模拟）

(1)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为________.

(2)在(1－eq\r(3,x))7＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(a,\r(x))))eq\s\up12(6)的展开式中，若x2的系数为19，则a＝________.

【方法技巧】求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可.

【变式1】（安徽安庆一中2019届模拟）

(1)(x2＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))－2))eq\s\up12(5)的展开式的常数项是()

A.5 B.－10 C.－32 D.－42

(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(1,2\r(3,x))))eq\s\up12(10)的展开式中所有的有理项为________.

(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6的展开式中x2的系数为()

A.15 B.20 C.30 D.35

考点二二项式系数与各项的系数问题

【典例2】（浙江镇海中学2019届模拟）

(1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.

(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.

【方法技巧】

1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.

2.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f（1）＋f（－1）,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f（1）－f（－1）,2).

【变式2】（江苏扬州中学2019届模