（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第10讲 利用导数研究函数的单调性、极值和最值（教师版）.docxVIP

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第10讲利用导数研究函数的单调性、极值和最值

考点01：利用导数求函数的单调区间

1.设函数，则函数的单调增区间为__________．

【答案】和

【分析】首先求出，再因式分解，令，解不等式组即可得出单调增区间．

【详解】，

令，得或，解得或，

所以函数的单调增区间为和，

故答案为：和．

考点02：求已知函数的极值（点）

2.已知函数，则的极小值为______．

【答案】

【分析】根据函数的导数与单调性、极值的关系求解.

【详解】函数的定义域为，，

令，即，得，令，即，得，

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

故当时，函数取得极小值，极小值为．故答案为:.

3.已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的极值与单调区间.

【答案】(1)；(2)答案见解析

【分析】（1）由函数，求得，再根据导数的几何意义求解即可；

（2）求得，讨论与0的大小，再根据函数极值点的定义求出函数的极值即可.

【详解】（1）因为，所以，

，

所以曲线在点处的切线方程为：，即

曲线在点处的切线方程为.．

（2），当或时，；当时，，

所以函数的递增区间为和，递减区间为，

所以当时函数取得极大值为，当时函数取得极小值为.

考点03：导函数图象与原函数图象的关系

4．设是定义在R上的连续可导函数，其导函数记为，函数的图象如图所示，给出下列判断：

①在上是增函数；???②共有2个极值点；

③在上是单调函数；④.

其中正确的判断共有（???）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】根据图象，判断函数的导数的符号，从而可求函数的单调性及极值．

【详解】解：当时，，由图象可得，则，为增函数；

当时，，由图象可得，则，为减函数；

当时，，由图象可得，则，为减函数；

当时，，由图象可得，则，为增函数，

又是定义在R上的连续可导函数，所以当时，为减函数；

故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为，极小值为，由函数在上单调递减，所以，无法判断与的大小关系；

故选：B．

5．已知上的可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为_____________

【答案】

【分析】根据图像得到当时，，当时，，时，，代入计算得到答案.

【详解】根据图像：当时，，，即，故；

当时，，，即，故；

当时，，，即，故；

综上所述：.故答案为：

考点04：求已知函数的最值

6．已知函数在区间上最大值为M，最小值为m，则的值是_______.

【答案】

【分析】求导，得到函数的单调性，进而求出最值，得到答案.

【详解】由题意，，，在上，故函数单调递增，所以，，，故的值是.故答案为：

7．设，则函数的最小值是________．

【答案】

【分析】求导根据导函数的正负与原函数的单调性求解最值即可.

【详解】，因为，所以当时，；函数递增

当时，.函数递减；所以当时，.

故答案为：

考点05：已知函数在区间上递增（减）求参数

8.已知函数，若对任意两个不等的正实数，，都有，则实数的取值范围是（????）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】构造函数，则转化得到在上单调递增，将题目转化为在上恒成立，再利用分离参数法即可得到答案.

【详解】由题意,不妨设,因为对任意两个不等的正实数,都有,

所以,即,

构造函数,则,所以在上单调递增，

所以在上恒成立,即在上恒成立,

设,则，所以当时,单调递增，

时,单调递减，所以，所以.故选：D.

9．已知函数，则单调递增的一个充分不必要条件可以是（????）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】对函数求导，根据单调递增有在上恒成立，结合二次函数性质求参数范围，最后由充分必要性定义，即可得答案.

【详解】由且，令，要使单调递增，即恒成立，当时满足题设；当，可得，则，满足题设；综上，使单调递增，则，A为充要条件，B为充分不必要条件，C、D既不充分也不必要条件.故选：B

考点06：已知函数存在单调区间或在区间上不单调求参数

10．若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出定义域，得到，求导，由，得，结合函数在内不单调，得到不等式，求出答案.

【详解】函数的定义域为，所以，即，，令，得，或（不在定义域内舍去），由于函数在区间内不是单调函数，所以，即，解得，综上可得，.故选：B.

11．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最