12月考试题参考解答定稿-A4.docx

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福建省厦门第一中学2023级高二（上）12月适应性练习

数学参考答案与评分标准

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分40分．

1．C2．A3．A4．C5．D6．C7．B8．A

8．解析：因为，所以△△，设，则，

设，则，，因为平分，由角平分线定理可知，，

所以，所以，由定义知，即，，①

又由得，所以，即是等边三角形，

所以，在中，由余弦定理知，

即，化简得，把①代入上式得，所以离心率为．故选：A．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。

9．ACD10．BCD11．AC

11．解析：设，记在中，，对顶点先向轴负方向运动了个单位，即先向轴正方向运动了个单位到；接下来顶点向轴负方向运动了个单位，沿轴正方向观察，相当于平面向上平移了个单位，向轴负方向运动后横坐标由变为

，，即：，

①当时，原式可退化为：，表示两条相交直线；

②时，原方程为：表示一对双曲线.故选：AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

12．13．14．

14．解析：第n+1年年底剩余资金为，

故，又，故

四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．解法一：（1）由成等差数列知，，

即， 2分

所以，即， 4分

因为是等比数列，所以公比， 6分

又因为，所以，所以的通项公式为； 7分

（2）由（1）知，，所以， 9分

所以

，

所以的前项和． 13分

解法二：（1）（1）由成等差数列知，，

即， 2分

令，则，所以，即， 4分

因为是等比数列，所以公比， 6分

又因为，所以，经检验，此时，，符合题意，

所以的通项公式为； 7分

（2）同解法一．

解法三：（1）（1）由成等差数列知，，

即， 2分

当时，，相减得，， 3分

设的公比为，则，所以或， 4分

若，则，此时不合题意； 5分

若，则又因为，所以，经检验，此时，，符合题意，

所以的通项公式为； 7分

（2）同解法一．

16．解：（1）由知，又的离心率，所以，得， 2分

由△的面积为，知，所以，代入得，

因为在轴上方，所以，所以点的坐标为或． 4分

①当的坐标为时，的斜率，的方程为；

②当的坐标为时，的斜率，的方程为；

综上，直线的方程为或． 6分

（2）若的方程为，则由得，，

与只有一个公共点，不符合题意； 7分

所以的方程为，设，的中点为，

由得，所以，， 9分

所以，故以为直径的圆的半径为，

又，所以，即， 11分

故到直线的距离为，等于圆的半径，故直线与圆相切，设切点为 12分

设过的圆的两条切线分别与圆切于点，则△的周长为

， 14分

又，，

故△的周长为． 15分

解法二：同解法一得， 11分

显然，过斜率不存在的直线不与圆相切，

设过且与圆相切的直线的方程为，即， 12分

所以到过的切线的距离，解得，或， 14分

故两条切线的方程为和，令代入得，

故不妨设，则△的周长为

． 15分

17．解法一：（1）如图，取中点， 1分

因为，，所以四边形是平行四边形，

所以，且，又因为，

所以在△中，，

所以，即，即， 2分

又因为，，平面，所以平面， 3分

又因为平面，所以，即； 4分

因为，平面，平面，所以平面，

又因为平面，平面平面，所以，所以； 6分

（2）如图，设中点为，因为，所以，

由（1）知平面，过作，则两两垂直，以为原点，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 7分

所以，

因为平面，，所以平面，

所以，且为直线与平面所成角，所以，

所以，又因为，所以，所以， 9分

因为，，所以，且，

所以为中点，所以，所以， 10分

又，设平面的法向量为，

由得取，则，

所以平面的一个法向量为， 12分

易知，平面的一个法向量为， 13分

设平面和平面的夹角为，则，

即面和平面夹角的余弦值为． 15分

解法二：（1）如图，延长与交于点， 1分

因为，且，

所以分别是的中点，所以，

又因为，所以在△中，，

所以，即，即， 2分

又因为，，平面，

所以平面， 3分

又因为平面，所以，即； 4分

因为，平面，平面，所以平面，

又因为平面，平面平面，所以，所以； 6分

（2）同解法一．

解法三：（1）如图，延长于，使得， 1分

则，因为，所以四边形是平行四边形，

所以，且，所以在△中，，

所以，所以， 2分

又因为，，平面，所以平面， 3分

又因为平面，所以，即； 4分

因为，平面，平面，所以平面，

又因为平面，平面平面，所以，所以； 6分

（2）同解法一．

18．解：（1）如图1，