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关于极限思维法的思考

南京市江宁区湖熟初级中学张德祥

一、问题的提出

我在参加暑期培训的一次课上，许志老师在讲授极限思维法的应用时举到下

面一个例题。

如图1（甲），在两个完全相同的容器中装有等质量的A、B两种液体。液体

中a、b两点到容器底部的距离相等，则a、b两点压强P、P的大小关系是

ab

（）

图1

A、P＜PB、P＝PC、P＞PD、无法判断

ababab

这是一个老题目，许多老师都做过、讲过常规方法，在当时情景之下不少老

师都想到用极限思维法。即将a、b两点到容器底部的距离放大到B液体的液面

高度，如图1（乙）此时，b点却已到液面，P＝0，a点仍在液体内部，P＞0，

ba

显然P＞P。这样使得P、P两者关系明朗。

abab

就在大家沉浸在感受这种方法的优越性之中时，有一位女教师提出既然可以

将a、b两点到容器底部的距离用极限思维的方法扩大到B液体的液面高度，也

可以将a、b两点到容器底部的距离缩小到容器底部。但此时可由题意知道P＝

a

P，显然得出了一个错误的结论。

b

于是，全班哑然！

渐渐疑问声起。都是采用了极限思维法，将a、b两点到容器底部的距离扩

大可以，缩小为什么就不行呢？极限思维法的应用条件是什么？

二、问题的思考

（一）第一阶段

回到宿舍后，我继续思考这一问题，并与同宿舍的老师在一起探讨。

1、本题之所以要用到“极限思维法”这一非常规武器，是因为a、b两点在

液体中的深度h＞h而液体密度ρ＜ρ，这样两者压强大小关系不够明确，无法

abab

1

直接判断。

2、图2是a、b两点压强p和a、b两点到容器底部的距离h关系图像.图中

虚线1就是前面所述，当a、b两点到容器底部的距离用极限思维

的方法扩大到B液体的液面高度时的情景，由图可知P＞P。从

ab

图中还可以看出，只要保证a、b两点到容器底部的距离相等，总

有P＞P，如图中虚线2。同时也可以看出随着h的减小P、P的

abab

大小之差在逐渐减小。当a、b两点落到容器底部时P＝P。图2

ab

由此，我知道本题中采用极限思维法只能将a、b两点到容器底部的距离用

极限思维的方法扩大到B液体的液面高度，而不可以将a、b两点到容器底部的

距离缩小到容器底部。

但极限思维法的应用条件究竟是什么？

（二）第二阶段

为了能对这个问题进行进一