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函数极限的十种求法

函数极限是高等数学中的一个重要概念，在数学分析、微积分、

实变函数、复变函数等领域均有应用。函数极限的求法有很多种，

以下将介绍其中的十种方法。

一、代数方法

利用现有函数的代数性质，根据极限的定义求解。例如，对于

函数f(x)=2x+1-x，当x趋近于1时，有：

limf(x)=lim(2x+1-x)=limx+1=2

x→1x→1x→1x→1

二、夹逼定理

夹逼定理也称为夹逼准则或夹逼定律。当f(x)≤g(x)≤h(x)，且

limf(x)=limh(x)=l时，有limg(x)=l。

例如，对于函数f(x)=sin(x)/x和g(x)=1，当x趋近于0时，有：

-1≤sin(x)/x≤1

lim-1≤limsin(x)/x≤lim1

x→0x→0x→0x→0

limsin(x)/x=1

三、单调有界准则

单调有界准则也称收敛定理。当一个数列同时满足单调有界性

质，即数列单调递增或单调递减且有上（下）界时，该数列必定

收敛。对于函数而言，只需要证明其单调有界的性质，即可用该

准则求出其极限值。

例如，对于函数f(x)=sin(x)/x，当x趋近于0时，此时f(x)没

有极限值，但是根据单调有界准则，可以求得其极限是1。

四、洛必达法则

洛必达法则是一种有效的求函数极限值的方法，通常用在0/0

形式的极限中。对于连续可导的函数f(x)和g(x)，若limf(x)/g(x)

存在，则有：

limf(x)limf(x)

lim———=lim———

x→ag(x)x→ag(x)

其中“lim”表示极限符号，f(x)表示f(x)的导数，g(x)表示g(x)

的导数。如果上式右边的极限存在，那么左边的极限也存在，并

且二者相等。

例如，对于函数f(x)=x^2+2x和g(x)=x+1，当x趋近于1时，

有：

lim(x^2+2x)lim(2x+2)

lim————=lim————=4

x→1x+1x+1

五、泰勒公式

泰勒公式是求解函数在某点处的极限值的有效方法之一。对于

任意可导函数f(x)，泰勒公式展开式为：

n

∑f^n(a)(x-a)^n

f(x)=f(a)+———————————————

n!n=1

其中，“∑”为求和符号，“f^n(x)”表示函数的n阶导数，“a”为函

数f(x)的取值点，“n!”表示n的阶乘，“f(a)”代表函数f(x)在点a

处的函数值。

例如，对于函数f(x)=sin(x)，当x趋近于0时，有：

3f^4(0)

limsin(x)/x=lim——=——————=1/3!=1/6

x→04!

六、积分求解

积分是一种求解函数极限的有效方法之一。在求解函数f(x)的

极限时，可以将其表示为一个积分式，然后通过对该积分式求解，

得到函数f(x)的极限值。

例如，对于函数f(x)=x/(1+x)，当x趋近于∞时，可以将其表

示为积分式：

∞

x/(1+x)dx=lim∫x/(1+x)dx=limln(x+1)=ln2

x→∞0x→∞

七、级数求和

级数求和是一种求解函数极限值的有效方法之一。在求解函数

f(x)的极限时，可以将其表示为一个级数式，然后通过对该级数求

和，得到函数f(x)的极限值。

例如，对于函数f(x)=(1-1/x)^x，当x趋近于∞时，可以将其表

示为级数式：

∞