19-20人教A版数学选修1-1（课件+教师用书+作业）：第2章 2.1 2.1.2　第1课时　椭圆的简单几何性质.doc

2.1.2椭圆的简单几何性质

第1课时椭圆的简单几何性质

学习目标

核心素养

1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)

2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点、难点)

1.通过学习椭圆的几何性质，培养学生直观想象的数学素养.

2.借助椭圆的几何性质，培养数学运算及逻辑推理的数学素养.

1．椭圆的简单几何性质

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)

eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(ab0)

范围

－a≤x≤a且－b≤y≤b

－b≤x≤b且－a≤y≤a

对称性

对称轴为坐标轴，对称中心为原点

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴长

短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝

焦点

F1(－c,0)，F2(c,0)

F1(0，－c)，F2(0，c)

焦距

|F1F2|＝

2.离心率

(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比eq\f(c,a)称为椭圆的离心率．

(2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．

思考：(1)离心率e能否用eq\f(b,a)表示？

(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？

[提示](1)e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up20(2)，所以e＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up20(2)).

(2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同．

1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是()

A．(－1,0)，(1,0)

B．(－6,0)，(6,0)

C．(－eq\r(6)，0)，(eq\r(6)，0)

D．(0，－eq\r(6))，(0，eq\r(6))

D[椭圆方程可化为x2＋eq\f(y2,6)＝1，则长轴的端点坐标为(0，±eq\r(6))．]

2．经过点P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程为()

A.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,4)＝1

C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1

A[由题易知点P(3,0)，Q(0,2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.]

3．若点P(m，n)是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上任意一点，则m的取值范围是________，n的取值范围是________．

[－2,2][－eq\r(3)，eq\r(3)][由题意可知eq\f(m2,4)＋eq\f(n2,3)＝1，

由eq\f(m2,4)≤1可知－2≤m≤2；同理，由eq\f(n2,3)≤1可知－eq\r(3)≤n≤eq\r(3).]

根据椭圆的方程研究其几何性质

【例1】设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为eq\f(1,2)，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．

[解]椭圆方程可化为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1.

(1)当0＜m＜4时，a＝2，b＝eq\r(m)，c＝eq\r(4－m)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(4－m),2)＝eq\f(1,2)，∴m＝3，∴b＝eq\r(3)，c＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4,2eq\r(3)，焦点坐标为F1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0))，F2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0))，顶点坐标为A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，0))，A2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0))，B1(0，－eq\r(3))，B2(0，eq\r(3))．

(2)当m＞4时，a＝eq\r(m)，b＝2，∴c＝eq\r(m－4)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(m－4),\r(m))＝eq\f(1,2)，解得m＝eq\f(16,3)，∴a＝eq\f(4\r(3),3)