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波兰数学奥林匹克试题及解答
1设为正整数，证明：所有与互质且不超过的自然数的立方和是的倍
数。
2在锐角三角形中，点是边上一点，使得
。证明：。
3已知正实数的和等于1，证明：。
4圆周上的点都被染上了某三种颜色中的一种，证明：在这个圆周上存在三个点，
它们是某个等腰三角形的顶点，且它们同色。
5求所有的正整数对（），使得与都是完全立方数。
6点是内部或边界上一点，点分别是点在边
上的垂足，证明：的充要条件是点在边
上。
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7证明：对任意正整数，和每一个实数，存在实数，
使得。
8关于非负整数的函数定义如下：对任意
；对。证明：对
均有。
9设为给定的自然数，且，证明：是一个完全平方数。
10设是三维空间中彼此垂直的三个单位向量，设是过点的一个
平面，分别是在平面上的投影。对任意平面，求数
构成的集合。
11设为正整数，是具有下述性质的个自然数构成的集合：中任意
个元素中，必有两个数，使得其中一个是另一个的倍数。证明：中存在
个数，使得对，均有。
12点分别是锐角三角形的边上的点，
的外接圆交于一点，证明：若
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，则为三角形的三条高。
解答或提示
1利用结论：若，则，将与配对即可证明此题。
2记，则，利用正弦定理可知，，
，从而，要证的式子等价于，
最后一式是显然的。
3注意到，
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