人教版八年级数学上册期末复习考题猜想 专题02 全等三角形辅助线与模型（7种热考模型）.docxVIP

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专题02全等三角形辅助线与模型（考题猜想，7种热考模型）

题型一：中点模型之倍长中线模型（共4题）

1．（2022秋?鄞州区校级期末）如图，在中，，为的中点，连结，作交于点．若，，则．

2．（2022秋?常德期末）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长至点，使，连接，容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是．

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．

（2）【初步运用】如图2，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长．

（3）【拓展提升】如图3，在中，为的中点，分别交，于点，．求证：．

3．（2022秋?梅里斯区期末）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．

已知：如图，点是的中点，点在上，且．

求证：．

分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．

（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．

①如图1，延长到点，使，连接；

②如图2，分别过点、作，，垂足分别为点，．

（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．

4．（2022秋?桐柏县校级期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：

（1）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是．

（2）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想；

（3）【拓展延伸】如图③，已知，点是的中点，点在线段上，，若，，直接写出线段的长．

题型二：平行线+线段中点构造全等模型（共6题）

1．（2024春?平房区期末）如图，已知，点是的中点，点在线段上，，若，，则线段的长为．

2．（2023秋?东莞市校级期末）中，是边上的一点，过作直线交于，交的延长线于，且，，

（1）求证：；

（2）若，求证：．

3．（2023春?浦东新区校级期末）如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且．

（1）求证：；

（2）连接，试说明与垂直的理由．

4．（2024秋?丰台区校级月考）如图，，，三点共线，，，三点共线，，于点，．

（1）求证：是的中点；

（2）求证：．

5．（2023秋?岳阳楼区校级期末）如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且．

（1）如图1，过点作交于点，求证：；

（2）如图2，连接交于点，若，求证：点为中点；

（3）如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若（其中为正数），则．（用含的代数式表示）

6．（2024春?锦州期末）【问题提出】

期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在中，是延长线的点，是边上一点，且满足，，那么是的中点，请你说明理由．

【思路探究】

小王同学从条件出发分析解题思路：以为腰构造等腰和平行八字型全等三角形，如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“”（或“”的判定方法即可得，小张同学从结论出发分析解题思路：以为腰构造等腰，将说明的问题转化为说明的问题，如图3，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，于是可得，再应用三角形全等“”（或“”的判定方法即可得．

（1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程；

【学以致用】

（2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形中，，，过点作线段，且，连接，交的延长于点，猜想与的数量关系并说明理由．

题型三：角平分线+垂直构造全等模型（共10题）

1．（2023秋?睢阳区期末）如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为

A． B． C． D．

2．（2024春?泰山区期末）如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是

A．①③ B．②③ C．①② D．①②③

3．（2023秋?巴中期末）如图，为的外角平分线上一点并且垂直平分交于点，过作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论是

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．（2023秋?苍梧县期末）如图，的面积为，平分，且