专题26二次函数与线段周长压轴问题-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）.pdf

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题26二次函数与线段周长压轴问题

经典例题

【例1】（2022·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线=2+―3(≠0)与x轴交于点(―1,0)，点

(3,0)，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；

(2)在对称轴上找一点Q，使△的周长最小，求点Q的坐标；

(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△是以为腰的等腰直角

三角形时，请直接写出所有点M的坐标．

2

【答案】(1)=―2―3

(2)（1，-2）

(3)（-1，0）或（1―2，-2）或（1―6，2）

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线=1的对称点E，连接AE，EQ，

则点E的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q；

（3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况讨论求解即可．

2

=+―3(≠0)(―1,0)(3,0)

【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，

――3=0

∴，

9+3―3=0

=1

∴，

=―2

=2―2―3

∴抛物线解析式为；

=2―2―3=(―1)2―4

（2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C，

=1

∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3）

如图所示，作点C关于直线=1的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），

由轴对称的性质可知CQ=EQ，

∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，

要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，

∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，

=+

设直线AE的解析式为11，

―1+1=0

∴，

21+1=―3

1=―1

∴，

1=―1

=――1

∴直线AE的解析式为，

当=1时，=――1=―1―1=―2，

∴点Q的坐标为（1，-2）；

（3）解：如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作∥轴，过点M作MF⊥EF于

F，过点B作BE⊥EF于E，

∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形，

∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，

∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，

∴∠FMP=∠EPB，

∴△FMP≌△EPB（AAS），

∴PE=MF，BE=PF，

设点P的坐标为（1，m），

==2

∴，，

=2=

∴，，

∴点M的坐标为（1-m，m-2），

2

∵点M在抛物线=―2―3上，

∴(1―)2―2(1―)―