专题9.5 椭圆（讲）（解析版）_1.doc

专题9.5椭圆

1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．

2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．

3.了解椭圆的简单应用．

4.理解数形结合的思想.

知识点一椭圆的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数．

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合P为线段；

(3)若a＜c，则集合P为空集．

知识点二椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)

eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)

图形

性质

范围

－a≤x≤a，

－b≤y≤b

－b≤x≤b，

－a≤y≤a

对称性

对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)，

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)，

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴

长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为

焦距

eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c

离心率

e＝eq\f(c,a)，e∈(0,1)

a，b，c

的关系

c2＝a2－b2

【知识必备】

1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.

(1)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；

(2)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；

(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．

2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中

(1)当P为短轴端点时，θ最大．

(2)S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.

(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．

3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝eq\f(2b2,a).

4．AB为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则

(1)弦长l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；

(2)直线AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).

考点一椭圆的定义及其应用

【典例1】（河南郑州外国语学校2019届模拟）

(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()

A．椭圆 B．双曲线

C．抛物线 D．圆

(2)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且eq\o(PF1,\s\up8(→))⊥eq\o(PF2,\s\up8(→)).若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.

【答案】(1)A(2)3

【解析】(1)由折叠过程可知点M与点F关于直线CD对称，所以|PM|＝|PF|，所以|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝r，由椭圆的定义可知点P的轨迹为椭圆．

(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r1＋r2＝2a，,r\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2)＝4c2，))所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2))＝4a2－4c2＝4b2.又因为S△PF1F2＝eq\f(1,2)r1r2＝b2＝9，所以b