专题27.2 垂径定理及其推论【十大题型】（举一反三）（华东师大版）（解析版）.pdf

专题27.2垂径定理及其推论【十大题型】

【华东师大版】

【题型1由垂径定理及其推论判断正误】1

【题型2根据垂径定理与勾股定理综合求值】3

【题型3根据垂径定理与全等三角形综合求值】8

【题型4在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】14

【题型5利用垂径定理求平行弦问题】19

【题型6利用垂径定理求同心圆问题】23

【题型7垂径定理的实际应用】27

【题型8垂径定理在格点中的运用】33

【题型9利用垂径定理求整点】37

【题型10利用垂径定理求最值或取值范围】41

【知识点1垂径定理及其推论】

（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

【题型1由垂径定理及其推论判断正误】

⊙⊥

【例1】（2023春·九年级单元测试）如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论

中不一定正确的是（）

====

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】根据垂径定理判断即可；

===

【详解】∵直径垂直于弦于点，则由垂径定理可得，，，，故选项A，B，D

正确；=无法得出，故C错误．

故选C．

【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，准确分析判断是解题的关键．

【变式1-1】（2023春·北京海淀·九年级人大附中校考阶段练习）在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位

同学分别整理了一个命题:

甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦.

下面对这两个命题的判断,正确的是

A．甲对乙错B．甲错乙对C．甲乙都对D．甲乙都错

【答案】D

【分析】根据在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等,则另外

两组量也相等，可判断甲命题；由垂径定理可得判断乙命题.

【详解】(1)在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧对应相等,故甲命题错误;(2)平分弦的直径垂直于不是直径的

弦;故乙命题项错误;

故选D.

【点睛】本题主要考查同圆或等圆中，弧、弦、圆心角的关系及垂径定理.

【变式1-2】（2023春·全国·九年级专题练习）下列命题正确的是（）

A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧B．弦的垂直平分线经过圆心

C．平分弦的直径垂直于弦D．平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦

【答案】ABD

【分析】根据垂径定理及其推论进行判断即可．

【详解】A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，正确；

B、弦的垂直平分线经过圆心，正确；

C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；

D、平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦，正确；

故选ABD．

【点睛】本题考查了垂径定理：熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．

【变式1-3】（2023·福建三明·泰安模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的

是（）

A．DE=BEB．