1.3.1-二项式定理-课件.ppt

1.3.1二项式定理

(2课时）

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=a2+2ab+b2(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=a·a·a+a·a·b+a·b·a+b·a·a+a·b·b+b·a·b+b·b·a+b·b·b=a3+3a2b+3ab2+b3你还能写出(a+b)4的展开式吗？写出二项式(a+b)2、(a+b)3展开式问题探究

(a+b)2＝(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=a2+2ab+b2展开后其项的形式为：a2，ab，b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21恰有2个取b的情况有C22种，则b2前的系数为C22每个都不取b的情况有1种，即C20,则a2前的系数为C20(a+b)2=a2+2ab+b2＝C20a2+C21ab+C22b2思考

(a+b)3＝(a+b)(a+b)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3(1)3个括号中全都取a得：C33a3(2)2个括号中有2个取a，剩下的1个取b得:C32a2C11b(4)3个括号中全都取b得：C33b3(3)3个括号中有1个取a，剩下的2个取b得:C31aC22b2同理：(1)不取b得：C30a3(2)取1个b得：C31a2b(3)取2个b得：C32ab2(4)取3个b得：C33b3(a+b)3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3

每个都不取b的情况有1种，即C40,则a4前的系数为C40恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41恰有2个取b的情况有C42种，则a2b2前的系数为C42恰有3个取b的情况有C43种，则ab3前的系数为C43恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44则(a+b)4＝C40a4＋C41a3b＋C42a2b2＋C43ab3＋C44b4(a+b)4＝(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)＝？

(a+b)2=C20a2+C21ab+C22b2(a+b)3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3(a+b)4＝C40a4＋C41a3b＋C42a2b2＋C43ab3＋C44b4猜想(a+b)n的展开式(a+b)n＝Cn0an＋Cn1an-1b＋Cn2an-2b2＋‥·＋Cnkan-kbk＋‥·＋Cnnbn(n∈N*)归纳推广

右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式Cnkan-kbk：二项展开式的通项,记作Tk+1Cnk：二项式系数(k∈{0,1,2,‥·n})(a+b)n＝Cn0an＋Cn1an-1b＋Cn2an-2b2＋‥·＋Cnkan-kbk＋‥·＋Cnnbn(n∈N*)Tk+1=Cnkan-kbk(k∈{0,1,2,‥·n})二项式定理

(1)共有n+1项(3)字母a按降幂排列，次数由n递减到0字母b按升幂排列，次数由0增加到n二项展开式的特点：(2)各项的次数都等于二项式的次数n(a+b)n＝Cn0an＋Cn1an-1b＋Cn2an-2b2＋‥·＋Cnkan-kbk＋‥·＋Cnnbn(n∈N*)(4)二项式系数为Cn0，Cn1，Cn2，…Cnk,…,Cnn是一组与二项式次数n有关的组合数，与a,b无关二项式定理的结构特征

(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnkxk+…+Cnnxn若令a=1,b=-x，则展开式又如何？(a+b)n＝Cn0an＋Cn1an-1b＋Cn2an-2b2＋‥·＋Cnkan-kbk＋‥·＋Cnnbn(n∈N*)若令a=1,b=x，则得到：(1-x)n=1-Cn1x+Cn2x2+…+(-1)kCnkxk+…+(-1)nCnnxn

典型题型分析与研究

解:(1)例1.用二项式定理展开下列各式：一.公式的正用

的展开式中x3的系数。分析：法1：转化为通项公式来求；法2：利用组合数知识来求；例2.(1)求(1+2x)的展开式的第4项的系数7和倒数第四项。二.求展开式中的项及项的系数

课堂练习练1.求(2x+3y)6的展开式的第3项的二项式系数和系数。练2.求(3y+2x)6的