（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第05讲 圆锥曲线中的焦点三角形与焦点弦三角形问题（教师版）.docxVIP

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第05讲圆锥曲线中的焦点三角形与焦点弦三角形问题

知识讲解

椭圆焦点三角形主要结论

在ΔPF1F

椭圆定义可知:

(1).PF1+PF2=2a,F1F2

双曲线焦点三角形主要结论

如图,F1、F2

记∠F1PF

椭圆、双曲线焦点三角形离心率

记∠P

则椭圆的离心率为:e=

双曲线的离心率为:e=

椭圆焦点弦三角形周长

F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的左、右焦点，过F

双曲线焦点弦三角形周长

如图1，F1,F2为双曲线C:x2a2?y

椭圆焦点弦三角形面积公式

F1、F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1ab

（2）F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于A、B

双曲线焦点弦三角形面积公式

（1）设直线l过焦点F2且交双曲线x2a2?y2b2=1

（2）F1、F2为双曲线C:x2a2?y2b2=

（3）F1、F2为双曲线C:x2a2?y2b

S

抛物线焦点弦三角形面积公式

设直线l过焦点F且与抛物线y2=2pxp0交于A、B两点，直线

考点一、椭圆的焦点三角形周长问题

【例1】椭圆的左?右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（????）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根据椭圆方程可得，再结合三角形周长，得，进而可得离心率.

【详解】因为，所以.因为的周长为，所以，所以，所以椭圆的离心率为，故选：B.

【例2】已知椭圆C：的左?右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（????）

A．的周长为6B．的面积为

C．的内切圆的半径为D．的外接圆的直径为

【答案】D

【分析】根据焦点三角形的性质即可求解AB，根据等面积法即可求解C，根据面积公式以及正弦定理及可求解D.

【详解】由题意知，，，，由椭圆的定义知，，，

∴的周长为，即A正确；

将代入椭圆方程得，解得，∴的面积为，即B正确；

设的内切圆的半径为r，则，即，∴，即C正确；

不妨取，则，，∴的面积为，

即，∴，由正弦定理知，的外接圆的直径，即D错误，故选:D.

??

【变式1】已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（????）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】根据的周长可得，由的中点坐标求得M坐标，代入椭圆方程可得关系式，解方程可得的值，即可求得答案

【详解】因为的周长为，所以，则，又,的中点为，所以M的坐标为，故，则，结合，，解得，所以椭圆C的标准方程为，故选：A.

【变式2】已知椭圆的左、右焦点为，，点关于直线的对称点P仍在椭圆上，则的周长为．

【答案】.

【分析】利用椭圆的定义、几何性质即可求解.

【详解】椭圆的左焦点关于直线的对称点仍在椭圆上，则，，则三角形的周长为.

故答案为：.

考点二、椭圆的焦点三角形面积问题

【例1】设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（????）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值；

方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；

方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．

【详解】方法一：设，所以，

由，解得：，

由椭圆方程可知，，

所以，，解得：，

即，因此．故选：B．

方法二：因为①，，

即②，联立①②，解得：，

而，所以，

即．故选：B．

方法三：因为①，，

即②，联立①②，解得：，

由中线定理可知，，易知，解得：．

故选：B．

【例2】（多选）已知为椭圆的左、右焦点,为平面上一点,若,则（????）

A．当为上一点时,的面积为9

B．当为上一点时,的值可以为

C．当满足条件的点均在内部时,则的离心率小于

D．当点在的外部时,在上必存在点,使得

【答案】ACD

【分析】设,根据椭圆定义得,根据得,两式联立可得,根据直角三角形的面积公式即可得选项A的正误;将以上结论代入中可求得与矛盾,由于,所以点在以为直径的圆上,半径为,若点均在内部,只需,解出离心率范围即可,若点在外部,只需,此时该圆与椭圆一定有交点,在交点处满足,可得选项D正误.

【详解】解:由题知,所以,因为为上一点,且,

所以为直角三角形,设,在中,由勾股定理可得①,

由椭圆定义可知:②,

②式的平方减①式可得:,所以,故选项A正确