（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第07讲 圆锥曲线中的定点、定直线问题（教师版）.docxVIP

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第07讲圆锥曲线中的定点、定直线问题

考点一、椭圆中的定点、定直线问题

【例1】已知椭圆的离心率是，点在上．

(1)求的方程；

(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．

【答案】(1)；(2)证明见详解

【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；

（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.

【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆方程为.

（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，

联立方程，消去y得：，

则，解得，

可得，因为，则直线，

令，解得，即,同理可得，

则

，所以线段的中点是定点.

??

【变式1】已知椭圆右焦点分别为，是上一点，点与关于原点对称，的面积为.

(1)求的标准方程；

(2)直线，且交于点，，直线与交于点.

证明：①直线与的斜率乘积为定值；

②点在定直线上.

【答案】(1)；(2)①证明见解析；②证明见解析

【分析】（1）设为，根据，解得；点在曲线上，可得，解得，，即可得出椭圆的标准方程．

（2）①设，，直线方程为，，联立直线与椭圆方程，消去得，，利用斜率计算公式、根与系数的关系即可得出为定值．

②直线方程为，直线的方程为，联立直线与直线方程，，化简结合根与系数的关系可得为定值．

【详解】（1）设为，，则，即，

又点在曲线上，∴，将代入，整理得，，

解得，，

∴椭圆的标准方程为.

（2）①设，，直线方程为：，，

联立直线与椭圆方程，消去得，

当，即且时，，，

∴，，

∴.

②直线方程为：，即，

直线的方程为，即，

联立直线与直线方程得，

∴，，

∴.

∴，即点在定直线上.

??

【变式2】已知椭圆的焦距为2，圆与椭圆恰有两个公共点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点处的切线方程为．若椭圆的短轴长小于4，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点．

【答案】(1)或

(2)证明见解析

【分析】（1）设椭圆的半焦距为，再分圆在椭圆的内部和外部两种情况分别求解即可；

（2）由题意椭圆的方程为，再设，得出切线的方程，将代入可得的坐标都满足方程即可得定点.

【详解】（1）设椭圆的半焦距为．当圆在椭圆的内部时，，椭圆的方程为．当圆在椭圆的外部时，，

椭圆的方程为．

（2）证明：设．因为椭圆的短轴长小于4，所以的方程为．

则由已知可得，切线的方程为的方程为，

将代入的方程整理可得，．

显然的坐标都满足方程，故直线的方程为，

令，可得，即直线过定点．

考点二、双曲线中的定点、定直线问题

【例1】已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．

(1)求C的方程；

(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；

（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.

【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，

则由可得，，双曲线方程为.

（2）由(1)可得，设，

显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，

与联立可得，且，

则，

??

直线的方程为，直线的方程为，

联立直线与直线的方程可得：

，由可得，即，

据此可得点在定直线上运动.

考点三、抛物线中的定点、定直线问题

【例1】过抛物线内部一点作任意两条直线，如图所示，连接延长交于点，当为焦点并且时，四边形面积的最小值为32

??

(1)求抛物线的方程；

(2)若点，证明在定直线上运动，并求出定直线方程.

【答案】(1)；(2)证明见解析，

【分析】（1）设直线，联立方程组求得，利用弦长公式，分别求得，得到，结合基本不等式，即可求解；

（2）由和共线，得到，，又由和共线，得到和，进而得到，即可求解.

【详解】（1）解：设，

设直线，联立方程组，整理得，可得，

所以，同理可得，

所以，当且仅当时取等号，

所以，所以抛物线的方程为.

（2）解：当为时，，由共线，可得，可得??①，

同理由共线???②

又由共线，可得，所以??③

同理由共线，可得??④

由①③得，即??⑤

又由②④得，即??⑥

由⑤⑥得，

即，即，所以在上.

??

【变式1】设抛物线：（）的焦点为，点的坐标为.已知点是抛物线上的动点，的最小值为4.

(1)求抛物线的方程：

(2)若直线与交于另一点，经过点和点的直线与交于另一点，证明：直线过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据两点与抛物线的位置分类讨论最值，由最