人教A版高中数学必修第二册同步讲练测 第8章 立体几何初步 章节复习+单元测试AB卷(教师版).docx

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第8章立体几何初步重难点归纳总结

考点一体积

【例1】已知一个圆锥的底面半径为1,其侧面积是底面积2倍,则圆锥的体积为(????)

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】设圆锥的母线为l,由题意得,解得,

所以圆锥的高为,所以圆锥的体积为,故选:B

【一隅三反】

1.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一,也称陀罗.图1是一种木陀螺,可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体,其直观图如图2所示,其中分别是上?下底面圆的圆心,且,底面圆的半径为2,则该陀螺的体积是(????)

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】已知底面圆的半径,由,则,

故该陀螺的体积.故选:D.

2.如图是一个棱长为2的正方体被过棱、的中点、,顶点和过点顶点、的两个截面截去两个角后所得的几何体,则该几何体的体积为(????)

A.5 B.6 C.7 D.8

【答案】C

【解析】如图将正方体还原可得如下图形:

则,,,

所以该几何体的体积.故选:C

3.已知圆台上下底面半径之比为1:2,母线与底面所成的角为60°,其侧面面积为,则该圆台的体积为(????)

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】圆台轴截面如图,则,∴.圆台高,

∴.

故选:D

4.(多选)圆柱的侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形,则这个圆柱的体积可能是(????)

A. B.

C. D.

【答案】BD

【解析】侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形,若圆柱的底面周长为4cm,则底面半径,,

此时圆柱的体积若圆柱的底面周长为2cm,则底面半径,,

此时圆柱的体积故选:BD

考点二表面积

【例2】已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形,侧面均为腰长为的等腰梯形,则该四棱台的表面积为(????)

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】设在正四棱台中,取侧面,则,,,如下图所示:

分别过点、在侧面内作,,垂足分别为、,

因为,,,所以,,,

因为,,,故四边形为矩形,故,

所以,,,

因此,该四棱台的表面积为.故选:C.

【一隅三反】

1.为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境,某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示,该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体,正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形,若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1∶3,则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为(????)

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由题意,设正六边形的边长为a,设六棱柱的高为3b,六棱锥的高为b,

正六棱柱的侧面积,正六棱锥的母线长为∴正六棱锥的侧面积,∵正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形,∴,∴∴,故选:B.

2.若圆台的高是4,母线长为5,侧面积是,则圆台的上、下底面的面积之和是______.

【答案】

【解析】设上下底的半径分别为,,则母线,高,构成一个直角三角形,

母线为斜边5,高为直角边4,由勾股定理得,即,

圆台的侧面积,所以,则,

所以圆台的上、下底面的面积之和是.故答案为:.

考点三直线、平面平行

【例3】由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示,四边形为平行四边形,O为与的交点.

(1)求证:∥平面;

(2)求证:平面∥平面;

(3)设平面与底面的交线为l,求证:.

【解析】(1)取的中点,连接,

∵是四棱柱,∴,∴四边形为平行四边形,∴,

又平面平面,∴平面.

(2)∵,∴四边形是平行四边形,∴,

∵平面平面,∴平面,

由(1)得平面且,平面,

∴平面平面.

(3)由(2)得:平面,

又平面,平面平面,∴.

【一隅三反】

1.如图,四边形是矩形,平面,平面.

(1)证明:平面平面.

(2)若平面与平面的交线为,求证:

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】(1)证明:因为平面,平面,所以,

又因为平面,平面,所以平面,

在矩形中,,平面,平面,

所以平面,

又,所以平面平面;

(2)证明:,平面,

又,.

2.正的边长为2,是边上的高,E,F分别是和的中点(如图甲).现将沿翻成直二面角(如图乙).在图乙中:

(1)求证:平面;

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】(1)在△ABC中,因为E,F分别是AC,BC的中点,所以.

又平面DEF,平面DEF,所以平面DEF.

(2)在题图甲中,因为是正的高,所以,

所以在题图乙中,,所以是二面角的平面角,

又二面角是直二面角,所以,

由于平面,所以平面.

因为是的中点,所以三棱锥的高为.

三角形的面积是,

又是的中点,所以,所以.

因为,所以.

设点到平面的距离为,则,解得,

所以点到平面的距离为.

3.(1)叙述两个平面平行的判定定理,并证明;

(2)如图,正方体中,分别为的中点

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