19-20人教A版数学选修1-1（课件+教师用书+作业）：第3章 3.2 3.2.1　几个常用函数的导数 3.2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一).doc

3.2导数的计算

3.

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

学习目标

核心素养

1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数．

2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点)

借助导数的定义求几个常用函数的导数，培养逻辑推理及数学运算的素养.

1．几个常用函数的导数

原函数

导函数

f(x)＝c

f′(x)＝0

f(x)＝x

f′(x)＝1

f(x)＝x2

f′(x)＝2x

f(x)＝eq\f(1,x)

f′(x)＝－eq\f(1,x2)

思考：根据上述四个公式，你能总结出函数y＝xα的导数是什么吗？

[提示]若y＝xα，则y′＝αxα－1.

2．基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f(x)＝c

f′(x)＝0

f(x)＝xα(α∈Q*)

f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sinx

f′(x)＝cos_x

f(x)＝cosx

f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax

f′(x)＝axln_a(a0)

f(x)＝ex

f′(x)＝ex

f(x)＝logax

f′(x)＝eq\f(1,xlna)(a0，且a≠1)

f(x)＝lnx

f′(x)＝eq\f(1,x)

1．函数f(x)＝0的导数是()

A．0 B．1

C．不存在 D．不确定

A[由基本初等函数的导数公式知(0)′＝0，故选A.]

2．已知函数f(x)＝eq\f(1,x)，则f′(2)＝()

A．4 B．eq\f(1,4)

C．－4 D．－eq\f(1,4)

D[f′(x)＝－eq\f(1,x2)，所以f′(2)＝－eq\f(1,22)＝－eq\f(1,4)，故选D.]

3．求下列函数的导数．

(1)(2x)′＝________；(2)(log3x)′＝________；

(3)(sin30°)′＝________；(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′＝________.

[答案](1)2xln2(2)eq\f(1,xln3)(3)0(4)－eq\f(4,x5)

利用导数公式求函数的导数

【例1】求下列函数的导数．

(1)y＝x12；(2)y＝eq\r(5,x3)；(3)y＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；

(4)y＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))x；(5)y＝3x.

[解](1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.

(2)y′＝(eq\r(5,x3))′＝(xeq\s\up18(\f(3,5)))′＝eq\f(3,5)xeq\s\up18(\f(3,5)-1)＝eq\f(3,5)xeq\s\up18(-\f(2,5))＝eq\f(3,5\r(5,x2)).

(3)∵y＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝sinx，

∴y′＝cosx.

(4)y′＝(logeq\s\do16(eq\f(1,2))x)′＝eq\f(1,xln\f(1,2))＝－eq\f(1,xln2).

(5)y′＝(3x)′＝3xln3.

用导数公式求函数导数的方法

?1?若所求函数是基本初等函数，则直接利用公式求解.

?2?对于不能直接利用公式的类型，关键是将其进行合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝eq\f(1,x4)可以写成y＝x－4，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.

1．求下列函数的导数：

(1)y＝5x；(2)y＝－eq\f(1,x5)；

(3)y＝ln3；(4)y＝xeq\r(x3).

[解](1)y′＝(5x)′＝5xln5.

(2)y′＝－(x－5)′＝5x－6＝eq\f(5,x6).

(3)y′＝(ln3)′＝0.

(4)∵y＝xeq\r(x3)，∴y＝xeq\f(5,2)，

∴y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xeq\s\up20(eq\f(5,2))))′＝eq\f(5,2)xeq\s\up18(\f(5,2)-1)＝eq\f(5,2)xeq\s\up20(eq\f(3,2))＝eq\f(5x\r(x),2).

利用导数公式求曲线的切线方程

【例2】已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．

[思路点拨]直线PQ的斜率?所求切线的斜率?切点坐标?所求切线方程．

[解]因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′