19-20人教A版数学选修1-1（课件+教师用书+作业）：第3章 3.3 3.3.1　函数的单调性与导数.doc

3.3导数在研究函数中的应用

3.

学习目标

核心素养

1．理解函数的单调性与导数的关系．(重点)

2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．(重点)

3．能根据函数的单调性求参数．(难点)

1．通过学习函数单调性与导数的关系，培养学生数学抽象与直观想象的素养．

2．借助导数求函数的单调性，培养逻辑推理和数学运算的素养.

1．函数的单调性与导数的关系

(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：

导数

函数的单调性

f′(x)0

单调递增

f′(x)0

单调递减

f′(x)＝0

常函数

(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：

函数的单调性

导数

单调递增

f′(x)≥0

单调递减

f′(x)≤0

常函数

f′(x)＝0

思考：在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)0的什么条件？

[提示]必要不充分条件．

2．函数的变化快慢与导数的关系

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．

1．函数y＝x3＋x的单调递增区间为()

A．(0，＋∞) B．(－∞，1)

C．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)

D[y′＝3x2＋10，故选D.]

2．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上()

A．增函数 B．减函数

C．先增后减 D．先减后增

A[∵f(x)＝2x－sinx，∴f′(x)＝2－cosx0，∴f(x)在R上是增函数．]

3．若函数f(x)的导数f′(x)＝x(x－2)，则f(x)在区间________上单调递减．

[0,2][∵f′(x)＝x(x－2)，由f′(x)≤0得，0≤x≤2，

∴f(x)在[0,2]上单调递减．]

导数与函数图象的关系

【例1】(1)f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()

(2)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的()

(1)D(2)C[(1)由f′(x)0(f′(x)0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：

x

(－∞，0)

(0,2)

(2，＋∞)

f′(x)

＋

－

＋

f(x)

↗

↘

↗

由表可知f(x)在(－∞，0)内递增，在(0,2)内递减，在(2，＋∞)内递增，满足条件的只有D，故选D.

(2)由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：

x

(－1，b)

(b，a)

(a,1)

f(x)

↘

↗

↘

f′(x)

－

＋

－

由表可知函数y＝f′(x)的图象，当x∈(－1，b)时，函数图象在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图象在x轴上方；当x∈(a,1)时，函数图象在x轴下方．故选C.]

对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图象.

1．函数y＝f(x)在定义域eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)0的解集为__________．

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))∪(2,3)[根据导数和图象单调性的关系知当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))∪(2,3)时f′(x)0.]

利用导数求函数的单调区间

【例2】求下列函数的单调区间：

(1)f(x)＝3x2－lnx；

(2)f(x)＝－eq\f(1,3)ax3＋x2＋1(a≤0)．

[思路点拨]eq\x(求定义域)―→eq\x(求导数)―→

eq\x(解不等式f′?x?0或f′?x?0)―→eq\x(写单调区间)

[解](1)函数的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝6x－eq\f(1,x)＝eq\f(6x2－1,x)，

令f′(x)0，则eq\f(6x2－1,x)0.

又x0，则6x2－10，解得xeq\f(\r(6),6).

所以函数的单调增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)，＋∞)).

令f′(x)0，则eq\f(6x2－1,x)0，解得0xeq\f(\r(6),6)，

所以函数的单调减区间为eq\b\lc\(\rc