高考数学一轮复习导数与函数的单调性.pdfVIP

第十一节导数与函数的单调性

[考纲传真](教师用书独具)了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究

函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．

(对应学生用书第32页)

[基础知识填充]

函数的导数与单调性的关系

函数y＝f(x)在某个区间内可导，则

(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；

(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；

(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．

[知识拓展]

1．在某区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必

要条件．

2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对?x∈(a，b)，都有

f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有

f′(x)0.()

(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调

性．()

(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．()

[答案](1)×(2)√(3)×

2．f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为()

A．(0,4)B．(0,2)

C．(4，＋∞)D．(－∞，0)

A[f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)0，得0x4，

∴递减区间为(0,4)．]

1

3．(教材改编)如图2-11-1所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中

正确的是()【导学号】

图2-11-1

A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数

B．函数f(x)在区间(1,3)上是减函数

C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数

D．函数f(x)在区间(3,4)上是增函数

A[当x∈(－3,0)时，f′(x)＜0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正

确．]

4．(2015陕·西高考)设f(x)＝x－sinx，则f(x)()

A．既是奇函数又是减函数

B．既是奇函数又是增函数

C．是有零点的减函数

D．是没有零点的奇函数

B[因为f′(x)＝1－cosx≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C．又因为

f(0)＝0－sin0＝0，所以函数存在零点，排除选项D，故选B．]

5．(2017浙江高考·)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图2-11-2所示，则函

数y＝f(x)的图象可能是()

图2-11-2

2

D[观察导函数f′(x)的图象可知，f′(x)的函数值从左到右依次为小于