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专题03轴对称(考题猜想,4种热考题型)
题型一:求轴对称图形的个数(共4题)
1.(2023秋?凤山县期末)如图,在的方格纸中有一个以格点为顶点的△,则与△成轴对称且以格点为顶点三角形共有
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(2023秋?徐州期末)如图,方格纸中有3个小方格被涂成黑色,若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色,使所有的黑色方格构成轴对称图形,则不同的涂色方案共有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.(2022秋?昆明期末)如图,在的正方形网格中,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形,图中的为格点三角形,在图中与成轴对称的格点三角形可以画出
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
4.(2021秋?门头沟区期末)如图,在正方形网格中,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形,图中的为格点三角形,在图中可以画出与成轴对称的格点三角形的个数为
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
题型二:等腰三角形中添加辅助线8种常用方法(共8题)
1.(作底边中线)(23-24八年级上·北京·期末)如图,在中,,D是的中点,过A作,且.求证:
(1);
(2).
2.(作底边高)(23-24八年级上·山东临沂·期末)已知在中,,点D是边上一点,.
(1)如图1,试说明的理由;
(2)如图2,过点B作,垂足为点E,与相交于点F.
①试说明的理由;
②如果,求的度数.
3.(作腰的平行线)(22-23八年级上·河南鹤壁·期末)问题初探
如图①,中,,,点是上一点,连接,以为一边作,使,,连接,猜想和有怎样的数量关系,并说明理由.
类比再探
如图②,中,,,点是上一点,点是上一点,连接,以一边作,使,,连接,则________.(直接写出答案,不写过程)
方法迁移
如图③,是等边三角形,点是上一点,连接,以为一边作等边三角形,连接,则、、之间有怎样的数量关系?答案:________(直接写出答案,不写过程).
拓展创新
如图④,是等边三角形,点是上一点,点是上一点,连接,以为一边作等边三角形,连接,猜想的度数,并说明理由.
4.(作底的平行线)(23-24八年级上·北京·期末)如图,等边中,在边延长线上一点,延长至,使,于,求证:.
5.(补形法构造等腰三角形)(23-24八年级上·江西上饶·期末)如图,中,,于D,且,求.
6.延长(或截取)法构造三角形(23-24八年级上·安徽合肥·期末)如图,在中,,,直线经过点,如图1,直线与线段相交,于,于D,F是的中点,连接、.
??
(1)求证:;
(2)求证:且;
(3)当直线与线段不相交,如图2,(2)中的结论还成立吗?请说明理由.
7.倍长中线法构造等腰三角形(22-23八年级上·上海杨浦·期末)已知,如图:中,,是的中线:求证:.
??
8.截长补短法构造等腰三角形(23-24八年级上·辽宁大连·期末)【问题情境】
在数学活动课上,李老师给出如下的问题:
如图1,已知,,过点B作射线l,点E在的内部,点A和点E关于l对称,交l于点D,连接.证明:.
【探究合作】
同学们根据问题进行小组合作,下面是第一小组的同学分享的解题过程:
小红:除已知所给相等的边和角之外,我们小组还推理得到;
小鹏:从结论出发可以“截”较长的线段,本题转化为证明两条线段相等的问题.如图2,在上截取,再证明;
小亮:要证明,观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法,如图3,连接,以为目标构造与之全等的三角形;
小明:与小鹏的想法类似,但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法.如图4,延长到点G,使,连接,再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明.
【推理证明】
(1)请你推理出小红的结论;
(2)根据第一小组同学们的解题思路,任选一种方法证明.
【反思提升】
李老师:小鹏和小明利用“截长补短”的方法,将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”,这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决,转化思想在数学学习中无处不在.
请同学们反思后解决下面的问题:
(3)如图,,,点D是的角平分线上一动点,的垂直平分线交射线于E,求的最小值.
题型三:添加辅助线方法——等腰三角形与全等构造(共8题)
1.(2024秋?思明区校级期中)△中,,点,在边上(点在点的左侧),,,点在边上.,若,,,则.(用含,的式子表示)
【分析】延长构造等腰三角形,得出是大三角形的角平分线,然后作平行线构造等腰三角形,从而得到一对全等的三角形,据此求出的长,最后得出的长,即为的长.
2.(2024秋?玄武区校级期中)如图,在△中,,将△沿折叠至△
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