专题26以旋转为载体的几何综合问题 -挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)(解析版).pdf

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挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)

专题26以旋转为载体的几何综合问题

【例1】(2022·山东济南·中考真题)如图1,△ABC是等边三角形,点D在△ABC的内部,

连接AD,将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AE,连接BD,DE,CE.

(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明;

(2)延长ED交直线BC于点F.

①如图2,当点F与点B重合时,直接用等式表示线段AE,BE和CE的数量关系为

_______;

②如图3,当点F为线段BC中点,且ED=EC时,猜想∠BAD的度数,并说明理由.

【答案】(1)=,理由见解析

(2)①=+;②∠=45°,理由见解析

【分析】(1)利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到△≌△(),再由全等

三角形的性质求解;

(2)①根据线段绕点A按逆时针方向旋转60°得到得到△是等边三角形,

由等边三角形的性质和(1)的结论来求解;②过点A作⊥于点G,连接AF,根据等

边三角形的性质和锐角三角函数求值得到∠=∠,=,进而得到

△∽△,进而求出∠=90°,结合=,ED=EC得到=,再用等腰

直角三角形的性质求解.

(1)

解:=.

证明:∵△是等边三角形,

∴=,∠=60°.

∵线段绕点A按逆时针方向旋转60°得到,

∴=,∠=60°,

∴∠=∠,

∴∠−∠=∠−∠,

即∠=∠.

在△和△中

=

∠=∠,

=

∴△≌△(),

∴=;

(2)

解:①=+

理由:∵线段绕点A按逆时针方向旋转60°得到,

∴△是等边三角形,

∴==,

=

由(1)得,

∴=+=+;

②过点A作⊥于点G,连接AF,如下图.

∵△是等边三角形,⊥,

1

∴∠=∠=30°,

2

3

∴=cos∠=.

2

∵△是等边三角形,点F为线段BC中点,

1

=⊥∠=∠=30°

∴,,,

2

3

∴=cos∠=,

2

∴∠=∠,=,

∴∠+∠=∠+∠,

即∠=∠,

∴△∽△,

∴∠=∠=90°.

∵=,=,

∴=

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