专题17 锐角三角函数【考点精讲】（解析版）.docxVIP

考点17锐角三角函数

一、锐角三角函数

锐角三角函数的概念

（1）锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数.

（2）在△ABC中，∠C=90°,

∠A的正弦sinA=,∠A的余弦cosA=,∠A的正切tanA=.

特殊角的三角函数值(填写下表)

三角函数

30°

45°

60°

sina

cosa

tana

1

二、解直角三角形

解直角三角形

（1）解直角三角形的概念

在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.

（2）直角三角形的解法

直角三角形的解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型:

①已知一条直角边和一个锐角(如a,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,c=;?

②已知斜边和一个锐角(如c,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,a=;?

③已知两直角边(如a,b),其解法为:c2=a2+b2,tanA=;?

④已知斜边和一直角边(如c,a),其解法为:b2=c2-a2,sinA=.?

与解直角三角形有关的名词、术语

（1）视角:视线与水平线的夹角叫做视角.

从下向上看,叫做仰角;

从上往下看,叫做俯角.

（2）方位角:目标方向线与正北方向线顺时针时的夹角.

（3）坡度、坡角:坡面的垂直高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡度(或坡比),记作i=.坡面与水平面的夹角(α),叫做坡角.

【考点1】锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值

【例1】（锐角三角函数的定义）（2022·云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB?CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据垂径定理求出，再根据余弦的定义进行解答即可．

【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AB?CD．

∴，OC==13，

∴．故选：B．

【例2】（特殊锐角三角函数值）（2022·湖南）计算：．

【答案】

【分析】先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得

【详解】解：原式

．

1．（2022·天津）的值等于（???????）

A．2 B．1 C． D．

【答案】B

【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解．

【详解】作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：

∴∠B=90°-45°=45°，

∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，

∴根据正切定义，，

∵∠A=45°，∴，故选B．

2．（2021·天津）的值等于（）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【分析】

根据30°的正切值直接求解即可．

【详解】

解：由题意可知，，

故选：A．

3．（2021·浙江）如图，已知在中，，则的值是______．

【答案】

【分析】

在直角三角形中，锐角的正弦=锐角的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案．

【详解】

解：，

故答案为：

4．（2022·山东滨州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则sinA=______.

【答案】

【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．

【详解】解：如图所示：

∵∠C=90°，AC=5，BC=12，

∴AB==13，

∴sinA=．

故答案为：．

【考点2】三角函数与图形结合

【例3】（2022·广西贵港）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．

【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，

∵每个小正方形的边长为1，

∴，

设，则，

在中，,

在中，,

∴，解得，

∴，故选：C．

1．（2022·四川广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案．

【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．

则DE∥AB，

∴∠APC＝∠EDC．

在△DCE中，有，，，

∴，

∴是直角三角形，且，

∴cos∠APC＝cos