2.1.1 等式的性质与方程的解集（同步学案，含解析）-新教材高一数学（人教B版必修第一册）_1.docx

2.1.1等式的性质与方程的解集

1.课标要求

考点

学习目标

核心素养

等式的性质

掌握等式的性质，会用十字相乘法分解因式

数学运算

方程的解集

会利用等式的性质解一元一次方程，

会用因式分解法解一元二次方程

数学运算

2.自主预习

预习教材P43－P46的内容，思考以下问题：

1．等式的性质有哪些？

2．恒等式的概念是什么？

3．十字相乘法的内容是什么？

4．方程的解集的概念是什么？

3.基础知识

1．等式的性质

(1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立；

(2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．

2．恒等式

一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．

3．方程的解集

一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．

4.基本方法

（1）利用十字相乘法分解单变量多项式

角度一x2＋(p＋q)x＋pq型式子的因式分解

例1.分解因式：

(1)x2－3x＋2；

(2)x2＋4x－12.

【解析】(1)如图，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图中的两个x用1来表示(如图)．

(2)由图，得

所以x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6).

角度二ax2＋bx＋c型式子的因式分解

例2.分解因式：

(1)6x2＋5x＋1；

(2)6x2＋11x－7；

(3)42x2－33x＋6；

(4)2x4－5x2＋3.

【解析】(1)由图，得

所以6x2＋5x＋1＝(2x＋1)(3x＋1)．

(2)由图，得

所以6x2＋11x－7＝(2x－1)(3x＋7)．

(3)由图，得

所以42x2－33x＋6＝(6x－3)(7x－2)．

(4)由图，得

所以2x4－5x2＋3＝(x2－1)(2x2－3)＝2(x＋1)(x－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(6),2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(6),2))).

练习1.把下列各式分解因式：

(1)x2－3x＋2＝________；

(2)x2＋37x＋36＝________；

(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝________；

(4)4m2－12m＋9＝________.

【解析】(1)x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

(2)x2＋37x＋36＝(x＋1)(x＋36)．

(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28

＝[(a－b)＋4][(a－b)＋7]

＝(a－b＋4)(a－b＋7)．

(4)4m2－12m＋9＝(2m－3)2.

答案：(1)(x－1)(x－2)

(2)(x＋1)(x＋36)

(3)(a－b＋4)(a－b＋7)

(4)(2m－3)2

（2）利用十字相乘法分解双变量多项式

角度一x2＋(p＋q)xy＋pqy2型式子的因式分解

例3.把下列各式因式分【解析】

(1)a2－2ab－8b2；

(2)x＋5eq\r(xy)－6y(x0，y0)；

(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2；

(4)m4＋m2n2－6n4.

【解析】(1)(a＋2b)(a－4b)；

(2)(eq\r(x)＋6eq\r(y))(eq\r(x)－eq\r(y))；

(3)(x＋y＋2z)(x＋y－3z)；

(4)(m＋eq\r(2)n)(m－eq\r(2)n)(m2＋3n2)．

角度二ax2＋bxy＋cy2型式子的因式分解

例4.把下列各式因式分【解析】

(1)6m2－5mn－6n2；

(2)20x2＋7xy－6y2；

(3)2x4＋x2y2－3y4；

(4)6(x＋y)＋7eq\r(z（x＋y）)＋2z(x0，y0，z0)．

【解析】(1)(3m＋2n)(2m－3n)．

(2)(4x＋3y)(5x－2y)．

(3)(x＋y)(x－y)(2x2＋3y2)．

(4)(3eq\r(x＋y)＋2eq\r(z))(2eq\r(x＋y)＋eq\r(z))．

练习2.分解下列各因式：

(1)x2－xy－2y2－2x＋7y－3；

(2)ab－2a－b＋2.

【解析】(1)(x－2y)(x＋y)－2x＋7y－3＝(x－2y＋1)·(x＋y－3)；

(2)(b－2)(a－1)．

（3）一元一次方程的解集

例5.用适当的方法求下列方程的解集：

(1)eq\f(x,0.7)－eq\f(0.17－0.2x,0.03)＝1；

(2)x－eq\f(1,2)eq