数学分析教案 华东师大版第六章 微分中值定理及其应用.pdfVIP

第六章微分中值定理及其应用

教学目的：

1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；

2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；

3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；

4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根

据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；

5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。

教学重点、难点：

本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值及凸性；

难点是用辅助函数解决问题的方法。

教学时数：14学时

§1中值定理（4学时）

教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的

理论基础。

教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义及几何意义，掌握三个定理的证

明方法，知道三者之间的包含关系。

教学重点：中值定理。

教学难点：定理的证明。

教学难点：系统讲解法。

一、引入新课：

通过复习数学中的“导数”及物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，

引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了

“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？

俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。

我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分

中值定理及其应用§1拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）

二、讲授新课：

（一）极值概念：

1．极值：图解，定义(区分一般极值和严格极值.)

2.可微极值点的必要条件:

Fermat

Th()(证)

函数的稳定点,稳定点的求法.

（二）微分中值定理:

1.Rolle中值定理:叙述为Th1.(证)定理条件的充分但不必要性.

2.Lagrange中值定理:叙述为Th2.(证)图解.

用分析方法引进辅助函数,证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参

阅[1]P157.

Lagrange中值定理的各种形式.关于中值点的位置.

推论1函数在区间I上可导且为I上的常值函数.(证)

推论2函数和在区间I上可导且

推论3设函数在点的某右邻域上连续,在内可导.

若存在,则右导数也存在,且有

(证)

但是,不存在时,却未必有不存在.例如对函数

虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得).

Th(导数极限定理)设函数在点的某邻域内连续,在

内可导.若极限存在,则也存在,且(证)

由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数

的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上

点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.

推论4(导函数的介值性)若函数在闭区间上可导,且

(证)

Th(Darboux)设函数