（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第04讲 空间向量（教师版）.docxVIP

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第

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第04讲空间向量

空间角

空间角的概念及范围

空间角

解题思路

夹角范围

线线角

设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为

则

线面角

l为平面α的斜线，为l的方向向量，为平面α的法向量，

φ为l与α所成的角，则

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))

二面角

平面α的法向量为，平面β的法向量为，〈，〉＝θ，

设二面角大小为φ，则

一．异面直线所成的角

1.几何法:平移法求异面直线所成的角

(1)作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；

（2）证：证明作出的角是异面直线所成的角；

（3）求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．

2.向量法

(1)建立空间直角坐标系；

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)注意两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.

二．直线与平面所成角

1.几何法

一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.

2.向量法

（1）斜线的方向向量

（2）平面的法向量

（3）斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（或钝角的补角），取其余角就是斜线和平面所成的角.

三．二面角

1.几何法

方法一：定义法：找出二面角的平面角

方法二：垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

2.向量法

（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；

（2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

空间距离

一．点到线的距离

1.概念：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离；

设AP＝，直线l的一个单位方向向量为，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝|AP|2-|AQ

二．两异面直线间的距离：即两条异面直线公垂线段的长度.

三．点到平面的距离：已知平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.因此

四．直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离；

五．两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

一．求点面距常见方法

方法一：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离

方法二：等体积法

方法三：向量法

二.向量法求两异面直线的距离

分别以这两条异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的法向量为，则两条异面直线间的距离就是在方向上的正射影向量的模，设为d，从而由公式求解.

考法一线线角

【例1-1】如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（????）

??

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】连接与交于点，连接，由题意得，，且平面，

以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

??

设四棱锥各棱长均为2，则，，

可得，则，

设异面直线与所成角为，则．故选：A．

【一隅三反】

1．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】连接，??，，四边形为平行四边形，，异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角）；

，，，

，即异面直线与所成角的余弦值为.

故选：C.

考法二线面角

【例2-1】如图，在底面为菱形的四棱锥中，，．

??

(1)求证：平面平面ABCD；

(2)已知，求直线BN与平面ACN所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】（1）证明：取AD的中点为O，连结OM，OB，

因为四边形ABCD是为菱形，且，所以为正三角形，所以，且