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第09讲导数的概念、运算及其几何意义
考点01:导数的定义
【例1】设函数可导且在处的导数值为1,则______.
【答案】
【分析】根据给定条件,利用导数的定义直接计算作答.
【详解】依题意,,所以.
故答案为:.
【例2】已知是的导函数,的图象如图所示,则的图象只可能是(????)
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】由导数的几何意义可知,原函数先增长“迅速”,后增长“缓慢”.
【详解】由题中的图象可以看出,在内,,且在内,单调递增,
在内,单调递减,所以函数在内单调递增,且其图象在内越来越陡峭,在内越来越平缓.故选:D.
考点02:导数的四则运算和复合函数求导
【例3】求下列函数的导函数:
(1);(2).
【答案】(1);(2)
【分析】(1)利用函数求导的除法法则运算即可;
(2)利用函数求导的乘法法则运算即可;
【详解】(1),
(2)
【例4】求下列函数的导函数
(1);(2);(3).
【答案】(1);(2);(3)
【分析】(1)根据基本初等函数导数公式和导数四则运算法则求解;
(2)设,利用复合函数求导法则求解;
(3)化简函数解析式,设,利用复合函数求导公式求解.
【详解】(1)因为,所以;
(2)函数可看做函数和的复合函数,
由复合函数求导法则可得,
(3)可化为,
函数可看做函数和的复合函数,
由复合函数求导法则可得,
【变式1】已知下列四个命题,其中正确的个数有(????)
①,??②,③,④.
A.0个B.1个C.2个D.3个
【答案】A
【分析】根据求导公式及运算律,简单复合函数导数逐项求导验证即可
【详解】因为,所以①错,因为,所以②错,因为,所以③错.
因为,所以④错,故选:A.
考点03:“在”点处的切线问题
【例5】已知函数的图像在点处的切线为l,若l与函数的图像也相切,切点为,则___________.
【答案】9
【分析】先求出,求出切线方程,进而求得,即可求解.
【详解】由题意得,则,所以切线l的方程为,即.
所以,则,.故答案为:9.
【例6】已知函数,则函数的图象在点处的切线斜率为(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】对函数求导,将代入求出的值即可.
【详解】由题设,则,故,
故在点处的切线斜率为.故选:A
【变式1】已知函数,其图象在点处的切线方程为,则它在点处的切线方程为_________.
【答案】
【分析】根据在处的切线方程为可得,且,根据的解析式和导数可求和,从而可求得结果.
【详解】∵在点处的切线方程为,∴,且,
又,∴,且,
∴点为,在处切线斜率为,
∴所求切线方程为,即.
故答案为:.
考点04:“过”点的切线问题
【例7】过点作曲线的切线,则切点的横坐标为_______________,这条切线在x轴上的截距为_______________.
【答案】
【分析】设出切点坐标为,利用导数的几何意义可得切线斜率为,再由两点间斜率公式可得,解得,即可求得切线方程,进而得出结果.
【详解】设切点坐标为,因为,所以,
即,解得,所以切线方程为,可知该切线在x轴上的截距为.
故答案为:,
【例8】(多选)过点且与曲线相切的直线方程为(????)
A. B.
C. D.
【答案】BC
【分析】设出切点,利用导数的几何意义得出切线方程为,再利用条件得到方程,从而求出,进而可求出切线方程.
【详解】设切点为,因为,所以,故切线方程为,
又因为切线过点,所以,整理得,解得或,
当时,切线方程为,即,
当,切线方程为,即.
故选:BC.
【变式1】若曲线有两条过的切线,则a的范围是______.
【答案】
【分析】由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点.后利用导数研究单调性,画出大致图象,即可得答案.
【详解】设切线切点为,因,则切线方程为:.
因过,则,由题函数图象
与直线有两个交点.,得在上单调递增,在上单调递减.
又,,.
据此可得大致图象如下.则由图可得,当时,曲线有两条过的切线.
故答案为:
考点05:已知切线(斜率)求参数
【例9】若曲线在点处的切线的斜率为2,则t的值为(????)
A.–1 B. C.0 D.1
【答案】C
【分析】求导解方程即得解.
【详解】由题得,所以.故选:C
【例10】已知函数,其中,若曲线在处的切线斜率为1,则的最小值为______.
【答案】/
【分析】根据导数的几何意义可得,再结合基本不等式运算求解.
【详解】因为的定义域为,且,
由题意可得:,
又因为,当且仅当时,
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