人教A版高中数学必修第二册同步讲练测 6.2 平面向量的运算（原卷版）.docx

第

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6.2平面向量的运算（学案）

知识自测

知识自测

一．向量的加法运算法则

1.三角形法则

已知非零向量、，在平面上任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝，eq\o(BC,\s\up6(→))＝，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做与的和，记作＋，即＋＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

记忆口诀：作平移，首尾连，由起点指终点．

2.平行四边形法则

已知两个不共线向量，，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝，以OA，OB为邻边作?OACB，则以O为起点的向量eq\o(OC,\s\up6(→))就是向量与的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则

记忆口诀：作平移，共起点，四边形，对角线

3.加法的运算律

(1)交换律：＋＝＋.

(2)结合律：(＋)＋＝＋(＋).

二．向量的减法运算

1.相反向量：与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作－.

性质：①和－互为相反向量。

②零向量的相反向量仍是零向量。

③由两个向量的和的定义可知：＋(－)＝(－)+=0，即任意向量与其相反向量的和是零向量。

2.向量的减法

(1)定义：向量加上的相反向量，叫做与b的差，即－＝＋(－)，求两个向量差的运算叫做向量的减法；向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.

（2）运算法则：三角形法则或平行四边形法则

记忆口诀：共起点，箭头指向被减数

三．向量的数乘运算

1.向量的数乘运算

（1）定义：一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ.

（2）规定：①|λ|＝|λ|||

②当λ0时，λ的方向与的方向相同；当λ0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0.

（3）运算律：设λ，μ为实数，则

①λ(μ)＝λμ；②(λ＋μ)＝λ＋μ；③λ(＋)＝λ＋λ(分配律)．

2.共线定理：向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使＝λ

3.线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算

四．向量的数量积

1.夹角

（1）定义：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up12(→))＝，eq\o(OB,\s\up12(→))＝，则∠AOB＝θ叫做向量与的夹角

(2)图示：

注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两个向量的夹角

（3）范围：

当θ＝0时，两向量，共线且同向；

当θ＝eq\f(π,2)时，两向量，相互垂直，记作⊥；

当θ＝π时，两向量，共线但反向

2.向量的数量积

定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则把数量||||cosθ叫做与的数量积(或内积)

记法：·，即·＝||||·cosθ，其中θ是与的夹角

注意：数量积的结果为数量,不再是向量。

（3）设，是非零向量，它们的夹角是θ，则

①⊥?·＝0.

②当与同向时，·＝||||；当与反向时，·＝－||||.

③·＝||2或||＝

3.数量积的运算律

(1)交换律：·＝·

(2)数乘结合律：(λ)·＝λ(·)＝·(λ)．

(3)分配律：(＋)·＝·＋·.向量数量积的运算不满足乘法结合律：

4.投影：设θ是，的夹角，则||cosθ叫做向量在向量的方向上的投影

||cosθ叫做向量在向量的方向上的投影

知识简用

知识简用

题型一向量的加法运算

【例1-1】如图，已知下列各组向量，，求作．

【例1-2】化简下列各式：

(1)；(2)；(3)．

题型二向量的减法运算

【例2-1】如图，在各小题中，已知，分别求作．

【例2-2】化简下列各式：

（1）(＋)＋(－－)；

（2）－－.

（3）

（4）；

（5）＋．

题型三向量的数乘运算

【例3-1】计算：

（1）；

（2）.

（3）；

（4）．

【例3-2】已知非零向量，不共线．

(1)如果，，，求证：，，三点共线；

(2)欲使和共线，试确定实数的值．

题型四向量的数量积

【例4-1】已知单位向量满足，则向量的夹角为______．

【例4-2】已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影是______.

【例4-3】已知，，与的夹角为，那么等于

【例4-4】已知向量满足的夹角为，则的值是_____．

【例4-5】已知向量，的夹角为，，则向量在方向上的投影为__．

6.2平面向量的运算（精讲）

思维导图

思维导图

典例精讲

典例精讲

考点一平面向量的线性运算

【例1-1】化简