专题27 四点共圆(原卷版).pdf

专题27四点共圆

四点共圆的性质：

1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等（如下图1，∠BAC=∠BDC）；

2）圆内接四边形的对角互补（如下图2，∠1=∠2）；

3)圆内接四边形的外角等于内对角（如下图3，∠1=∠3）。

ADADAD

11

OOO

23

BBB

CCC

D

四点共圆的判定方法：A

1）若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。

O

C

如图，若AO=BO=CO=DO，则点A、B、C、D四点共圆。B

理由：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（圆的定义）。

2）共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆(可在考试中直接使用)。

如图，已知△ABC和△BCD为直角三角形，∠BAC=∠BDC=90°，点0为斜边中点

AD

则点A、B、C、D四点共圆。A

B

理由：连接AO、ODOCBOC

∴AO=BO=CO=DO∴点A、B、C、D四点共圆

D

3）同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆。

已知：在BC同侧两个三角形△ABC和△BDC,且∠BAC＝∠BDC

求证：A、B、C、D四点共圆

AD

证明(反证法)：

O

过A，B，D作圆O，交BC所在直线于C’，连结DC’，

B