专题27 正方形篇（解析版）.pdf

专题27正方形

考点一：正方形的性质

知识回顾

1.正方形的定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

2.正方形的性质：

①具有平行四边形的一切性质。

②具有矩形与菱形的一切性质。

所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组

对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。

正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，

过每一组对边中点的直线也是对称轴。

微专题

1．（2022•黄石）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B

的对应点B1的坐标为（）

A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，2）

【分析】连接OB，由正方形的性质和勾股定理得OB＝2，再由旋转的性质得B1在y轴正半轴上，且OB1

＝OB＝2，即可得出结论．

【解答】解：如图，连接OB，

∵正方形OABC的边长为，

∴OC＝BC＝，∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，

∴OB＝＝＝2，

∵将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°后点B旋转到B1的位置，

∴B在y轴正半轴上，且OB＝OB＝2，

11

∴点B1的坐标为（0，2），

故选：D．

2．（2022•广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于

点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（）

6362

A．B．C．2﹣3D．

222

【分析】连接EF，由正方形ABCD的面积为3，CE＝1，可得DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝

，即得∠EBC＝30°，又AF平分∠ABE，可得∠ABF＝∠ABE＝30°，故AF＝＝1，DF＝AD

﹣AF＝﹣1，可知EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，而M，N分别是BE，BF的中点，即

得MN＝EF＝．

【解答】解：连接EF，如图：

∵正方形ABCD的面积为3，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝，

∵CE＝1，

∴DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，

∴∠EBC＝30°，

∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，

∵AF平分∠ABE，

∴∠ABF＝∠ABE＝30°，

在Rt△ABF中，AF＝＝1，

∴DF＝AD﹣AF＝﹣1，

∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，

∴EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，

∵M，N分别是BE，BF的中点，

∴MN是△BEF的中位线，

∴MN＝EF＝．

故选：D．

3．（2022•贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方

形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（）

A．4B．8C．12D．16

【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，然后即可得到小正方形的周长．

【解答】解：由题意可得，