线性空间与线性变换.pptxVIP

线性空间与线性变换;1、1线性空间(LinearSpaces);常见得线性空间;不就是线性空间得集合;线性空间得一般性得观点:;二、向量组得探讨(Review);二、向量组得探讨(Review);三、线性空间得基与维数;三、线性空间得基与维数;四、坐标;例2设空间F[x]4得两组基为:

{1,x,x2,x3}与

{1,(x-1)1,(x-1)2,(x-1)3}

求f(x)=2+3x+4x2+x3在这两组基下得坐标。;大家学习辛苦了，还是要坚持;*例3设R2?2中向量组{Ai};五、基变换与坐标变换;2坐标变换公式;

例已知空间R中两组基(I){Eij}

(II);{}

求从基(I)到基(II)得过渡矩阵C。

求向量在基(II)得坐标Y。;§1、2子空间;1、子空间得概念

;子空间与非子空间得例子:

V={x=(x1,x2,0｝?R3,就是子空间

V={x=(x1,x2,1｝?R3,不就是子空间;重要得子空间:生成子空间

设向量组｛?1,?2,···,?m｝?V,由它们得一切线性组合生成得子空间:

Span{?1,?2,···,?m}=L(?1,?2,···,?m)

=｛k1?1+k2?2+···+km?m|ki}

生成子空间得重要得性质:

1)如果?1,?2,···,?m线性无关,则其为生成子空间Span{?1,?2,···,?m}得一组基;

2)如果?1,?2,···,?r就是向量组?1,?2,···,?m得最大线性无关组,则

?Span{?1,?2,···,?m}=Span{?1,?2,···,?r}

??1,?2,···,?r就是Span{?1,?2,···,?m}得一组基;题型举例;2、子空间得“交空间”与“与空间”;例设R3中得子空间W1=L{e1},W2=L{e2}

求与空间W1＋W2。

比较:集合W1?W2与集合W1＋W2。

;3、维数公式;4、子空间得直与;子空间得“与”为“直与”得充要–条件:

Theorem设W=W1＋W2,则下列各条等价:

(1)?????????W=W1?W2;

(2)??????????X?W,X=X1＋X2得表

就是惟一得;

(3)0得分解就是唯一得;

(4)?????????dimW=dimW1＋dimW2

;

例???设在Rn×n中,子空间

W1={A?AT=A},W2={B?BT=–B},

证明Rn×n=W1?W2。

;例;§1、3线性空间V与Fn得同构;同构得性质;§1·4线性变换(LinearTransformations)

;2线性变换得性质:

(i)T(0)=0

(ii)T(－?)=－T(?)

(iii)T(k1?1+k2?2+···+km?m?)=k1T(?1)+k2T(???2)+、、、+kmT(?m);

例?(P018)?Rn中得变换T:设A?Rn×n就是一个给定得矩阵,?X?Rn,T(X)=AX。

(1)T就是线性变换;

(2)Ker(T)就是AX=0得解空间;

(3)Im(T)=Span{a1,a2,…,an},其中ai就是矩阵A得列向量;

(4)dimKer(T)+dimIm(T)=n

;4线性变换得运算

设T1,T2都就是空间V中得线性变换,常见得用它们构成得新得变换:

(i)T1＋T2????V,

(T1＋T2)(?)=T1(?)＋T2(?)

(ii)T1T2????V,

(T1T2)(?)=T1(T2(?))

(iii)kT????V,

(kT)(?)=k(T(?))

(iv)若T－1就是可逆变换,T－1?

T－1(?)=?当且仅当T(?)=?。