山东省青岛市黄岛区2025届高三上学期期中考试数学试卷（解析版）.docx

高级中学名校试卷

PAGE

PAGE1

山东省青岛市黄岛区2025届高三上学期期中考试数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.已知为坐标原点，点，，，，则（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】由题意可得，，

，，

故，

，

，

，

因此，

故选：A

2.如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第个正方形，依此方法一直继续下去.则从正方形开始，连续个正方形面积之和为，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由题意得，第一个正方形边长为，面积为，

第二个正方形边长为，面积为，

第三个正方形边长，面积为，

第四个正方形边长为，面积为，

第五个正方形边长为，面积为，

由题有，

得到，解得，

故选：D.

3.已知平面向量满足，若，则与的夹角为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由题设，而，

所以，，

所以.

故选：B.

4.设集合，则是的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由集合，

又，所以，

所以是的必要不充分条件.

故选：B.

5.若正数满足，则的最小值是（）

A. B. C. D.2

【答案】A

【解析】由可得，

，

当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意.

所以的最小值为.

故选：A

6.如图，已知函数，点，是直线与函数y=fx的图象的两个交点，若，则fπ3=（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】设，由，得到，

当，由，得到，

所以，得到，

又，结合图象有，

得到，所以，

当时，，由，

得到，

所以，得到，

又，结合图象有，

得到，所以，

综上，，所以，

故选：C.

7.2024年1月1日，第五次全国经济普查正式启动.甲、乙、丙、丁、戊5名普查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不去城东，则不同的安排方法共有（）

A.36种 B.60种 C.96种 D.180种

【答案】D

【解析】城东去1人，不同安排方法为（种）；

城东去2人，不同安排方法是（种），

所以不同的安排方法共有（种）.

故选：D.

8.定义在上的函数满足：，，，当时，，则（）

A.2 B.1 C. D.0

【答案】A

【解析】由可得中令可得，

又因为时，，

又，所以时，，

由可得，

因为，所以，

所以,

故选：A

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知二项式，则其展开式中（）

A.的系数为15 B.各项系数之和为1

C.二项式系数最大项是第3项 D.系数最大项是第3项或第5项

【答案】AD

【解析】的展开式的通项为，

对于A，取，则，故的系数为，故A正确；

对于B，因为，

令，则各项系数之和为，故B错误；

对于CD，由展开式的通项可得展开式中各项的系数依次为：，

故二项式系数最大项是第3项或第5项，故C错误，D正确；

故选：AD.

10.数列满足，，则（）

A.数列为等差数列 B.

C. D.

【答案】BCD

【解析】对于选项A，因为，则不为常数，由等差数列的定义可知，数列不为等差数列，故选项A错误，

对于选项B，由，得到，

当时，，

又当时，，满足，所以，故选项B正确，

对于选项C，由选项B知，得到，

所以，

故选项C正确，

对于选项D，由选项B知，，即，

整理得到，

下面用数学归纳法证明成立，

当，不等式左边等于，不等式右边等于，所以时，等式成立，

假设时，成立，

则时，因为，

令，则在区间上恒立，

即在区间上单调递减，

所以，得到在上恒成立，

所以，

即时，也成立，

综上，对任意的成立，故选项D正确，

故选：BCD.

11.在中，角，，所对的边分别为，，，，，已知点是所在平面内一点，点在上，点为中点，，则（）

A.若，则的面积为2

B.若在方向上的投影向量为，则的最小值为

C.若点为中点，则

D.若，则

【答案】ACD

【解析】对于A，因为，故，

所以即即，

故的面积为，故A正确；

对于B，若在方向上的投影向量为，则，

当时取最小值，此时，故为的中点，故此时，

故B错误；

对于C，因为，故，

则即，故C正确；

对于D，设，因为均为单位向量，

故在的角平分线上，而，

故的角平分线与垂直，故，

取的中点为，连接，则，且，

故，

故D正确.

故选