备战2025年高考 理科数学考点一遍过 考点07 指数与指数函数.docx

专题07指数与指数函数

（1）了解指数函数模型的实际背景.

（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.

（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.

（4）知道指数函数是一类重要的函数模型.

一、指数与指数幂的运算

1．根式

（1）次方根的概念与性质

次

方

根

概念

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，.

性质

①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.

②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根.

③0的任何次方根都为0，记作.

（2）根式的概念与性质

根

式

概念

式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.

性质

①.

②当为奇数时，.

③当为偶数时，.

【注】速记口诀：

正数开方要分清，根指奇偶大不同，

根指为奇根一个，根指为偶双胞生．

负数只有奇次根，算术方根零或正，

正数若求偶次根，符号相反值相同．

负数开方要慎重，根指为奇才可行，

根指为偶无意义，零取方根仍为零．

2．实数指数幂

（1）分数指数幂

①我们规定正数的正分数指数幂的意义是.

于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式.

②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且

.

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.

（2）有理数指数幂

规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质：

①；

②；

③.

（3）无理数指数幂

对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数.

一般地，无理数指数幂是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.

二、指数函数的图象与性质

1．指数函数的概念

一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是.

【注】指数函数的结构特征：

(1)底数：大于零且不等于1的常数；

(2)指数：仅有自变量x；

(3)系数：ax的系数是1.

2．指数函数的图象与性质

图象

定义域

值域

奇偶性

非奇非偶函数

对称性

函数y=a?x与y=ax的图象关于y轴对称

过定点

过定点，即时，

单调性

在上是减函数

在上是增函数

函数值的变化情况

当时，；

当时，

当时，；

当时，

底数对图象的影响

指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0cd1ab.

①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；

②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.

即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.

【注】速记口诀：

指数增减要看清，抓住底数不放松；

反正底数大于0，不等于1已表明；

底数若是大于1，图象从下往上增；

底数0到1之间，图象从上往下减；

无论函数增和减，图象都过(0，1)点．

3．有关指数型函数的性质

(1)求复合函数的定义域与值域

形如的函数的定义域就是的定义域．

求形如的函数的值域，应先求出的值域，再由单调性求出的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．

求形如的函数的值域，要先求出的值域，再结合的性质确定出的值域．

(2)判断复合函数的单调性

令u=f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数与的单调性相同，那么复合后的函数在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数在[m，n]上是减函数．

(3)研究函数的奇偶性

一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子与f(?x)的关系，最后确定函数的奇偶性．

二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．

考向一指数与指数幂的运算

指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

(5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．

(6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示．如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

典例1化简并求值：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）；