备战2025年高考 理科数学考点一遍过 考点10 函数模型及其应用.docx

专题10函数模型及其应用

（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.

（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.

一、常见的函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

(为常数，)

反比例函数模型

(为常数且)

二次函数模型

（均为常数，）

指数函数模型

（均为常数，，，）

对数函数模型

（为常数，）

幂函数模型

（为常数，）

二、几类函数模型的增长差异

函数

性质

在(0，＋∞)上的增减性

单调递增

单调递增

单调递增

增长速度

先慢后快，指数爆炸

先快后慢，增长平缓

介于指数函数与对数函数之间,相对平稳

图象的变化

随x的增大，图象与轴接近平行

随x的增大，图象与轴接近平行

随n值变化而各有不同

值的比较

存在一个，当时，有

三、函数模型的应用

解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：

（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；

（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.

用框图表示如下：

数学问题实际问题建模

数学问题

实际问题

审题、转化、抽象

问题解决解模运算

实际问题结论数学问题答案还原

实际问题结论

数学问题答案

结合实际意义

考向一二次函数模型的应用

在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.

典例1山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在本市收购了2000千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售.

（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式；

（2）李经理如果想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购成本-各种费用）

（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？

【解析】（1）由题意得，y与x之间的函数关系式为：y=(10+0.5x)(2000?6x)=?3x

（2）由题意得，(?3x

化简得，x2

解得x1=50，x

因此，李经理如果想获得利润22500元，需将这批香菇存放50天后出售.

（3）设利润为W，则由（2）得，W=(?3

=?3x

因此当x=100时，Wmax

又因为100∈(0,110

所以李经理将这批香菇存放100天后出售可获得最大利润，为30000元.

1．根据调查，某地区有300万从事传统农业的农民，人均年收入6000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作.据估计，如果有x(x0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高x%，而进入企业工作的农民的人均年收入为6000a(1≤a≤3)元．

（1）在建立加工企业后，多少农民进入企业工作，能够使剩下从事传统农业农民的总收入最大，并求出最大值；

（2）为了保证传统农业的顺利进行，限制农民进入加工企业的人数不能超过总人数的，当地政府如何引导农民，即x取何值时，能使300万农民的年总收入最大．

考向二指数函数、对数函数模型的应用

（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.

（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.

典例2一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林面积为.

（1）求p%的值;

（2）到今年为止,该森林已砍伐了多少年?

（3）今后最多还能砍伐