备战2025年高考 理科数学考点一遍过 考点18 平面向量的概念及其线性运算.docx

专题18平面向量的概念及其线性运算

1．平面向量的实际背景及基本概念

（1）了解向量的实际背景.

（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.

（3）理解向量的几何表示.

2．向量的线性运算

（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.

（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.

（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义.

一、平面向量的相关概念

名称

定义

表示方法

注意事项

向量

既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)

向量或；

模或

平面向量是自由向量

零向量

长度等于0的向量，方向是任意的

记作

零向量的方向是任意的

单位向量

长度等于1个单位的向量

常用表示

非零向量的单位向量是

平行向量

方向相同或相反的非零向量

与共线可记为

与任一向量平行或共线

共线向量

平行向量又叫共线向量

相等向量

长度相等且方向相同的向量

两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量

长度相等且方向相反的向量

的相反向量为

二、向量的线性运算

1．向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律

2．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得.

【注】限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．

考向一平面向量的基本概念

解决向量的概念问题应关注以下七点：

(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．

(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．

(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．

(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．

(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．

(6)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．

(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.

典例1下列命题正确的是

A．单位向量都相等 B．模为0的向量与任意向量共线

C．平行向量不一定是共线向量 D．任一向量与它的相反向量不相等

【答案】B

【解析】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，∴A错误；

对于B，模为0的向量为零向量，零向量和任一向量平行，∴B正确；

对于C，共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，∴C错误；

对于D，例如零向量，与它的相反向量相等，∴D错误.

故选B．

1．给出下列四个命题：

①若，则；

②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；

③若，，则；

④的充要条件是且.

其中正确命题的序号是

A．①② B．②③

C．③④ D．②④

考向二向量的线性运算

平面向量线性运算问题的求解策略：

(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．

(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．

(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

①观察各向量的位置；

②寻找相应的三角形或多边形；

③运用法则找关系；

④化简结果.

典例2若、、、是平面内任意四点，给出下列式子：

①，②，③．

其中正确的有

A．3个 B．2个

C．1个 D．0个

【答案】B

【解析】①的等价式是=，左边=+，右边=+，不一定相等；

②的等价式是=，左边=右边=，故正确；

③的等价式是=+，左边=右边=，故正确.

所以正确的有2个，故选B．

【名师点睛】熟练掌握向量的线性运算法则是解题的关键．

2．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则

A． B．

C． D．

典例3如图，在平行四边形中，对角线与交于点，，则____________.

【答案】2

【解析】由平行四边形法则，得，故λ=2.

3．如图，在中，，，若，则的值为

A． B．

C． D．

考向三共线向量定理的应用

共线向量定理的主要应用：

(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．

(2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线．

【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.

(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．

典例4已知两个非零向量a与b不共线.

（1）若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a?b),求证:A,B,D三点共线;

（2）试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.

【解析】（1）∵AB=a+b,BC=2a+8b,C