备战2025年高考 理科数学考点一遍过 考点42 曲线与方程.docx

专题42曲线与方程

了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.

一、曲线与方程的概念

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．

二、坐标法（直接法）求曲线方程的步骤

求曲线的方程，一般有下面几个步骤：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；

（2）写出适合条件p的点M的集合；

（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程；

（4）化方程为最简形式；

（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程．

三、两曲线的交点

（1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．

（2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.

考向一考查曲线与方程的概念

判断曲线与方程的关系时，把握两个对应关系：

（1）曲线上的每个点都符合某种条件；

（2）每个符合条件的点都在这条曲线上.若要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程.

典例1方程(x

A．一个圆和一条直线 B．半个圆和一条直线

C．一个圆和两条射线 D．一个圆和一条线段

【答案】C

【解析】(x＋y－2)x2

故表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线x＋y－2＝0在圆x2＋y2－9＝0外面的两条射线.

典例2方程y=-4?x

【答案】A

【解析】将y=-4?x2平方得x2+y2=4(y≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分

1．设，且是和的等比中项，则动点的轨迹为除去轴上点的

A．一条直线 B．一个圆

C．双曲线的一支 D．一个椭圆

2．方程表示的曲线不可能是

A．椭圆 B．抛物线

C．双曲线 D．直线

考向二直接法求轨迹方程

直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．

典例3已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足，则动点P(x，y)的轨迹方程为

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设P（x，y），M（﹣2，0），N（2，0），，

则，

由，得，

化简整理得．

故选A．

典例4已知坐标平面上一点与两个定点，，且．

（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）记（1）中轨迹为，过点的直线被所截得的线段长度为，求直线的方程．

【解析】（1）由，得，

化简得，

所以点的轨迹方程是，

该轨迹是以为圆心，以为半径的圆．

（2）当直线的斜率不存在时，，此时所截得的线段的长为，

所以符合题意．

当直线的斜率存在时，设的方程为，即，

圆心到的距离，

由题意，得，解得．

所以直线的方程为，即．

综上，直线的方程为或．

3．若动点到点的距离是到点D(2,0)的距离的2倍，则动点的轨迹方程为

A． B．

C． D．

4．已知O0,0和K0,2是平面直角坐标系中的两个定点，过动点Mx,y的直线MO和MK的斜率分别为k1，

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点作相互垂直的两条直线与轨迹交于，两点，求证：直线过定点.

考向三定义法求轨迹方程

求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．理解解析几何中有关曲线的定义是解题的关键．

利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．

典例5已知圆A：(x+2)2+y2=254，圆B：

（1）求动圆P的圆心的轨迹C的方程；

（2）过圆心B的直线与曲线C交于M、N两点，求｜MN｜的最小值.

【解析】（1）设动圆P的半径为r，则│PA│＝，│PB│=，

∴│PA│－│PB│=2.

故点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，

其方程为.

（2）设MN的方程为x=

代入双曲线方程，得(3