备战2025年高考 理科数学考点一遍过 考点48 排列与组合.docx

专题48排列与组合

（1）理解排列、组合的概念.

（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.

（3）能解决简单的实际问题.

1．排列

（1）排列的定义

一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

（2）排列数、排列数公式

从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.

一般地，求排列数可以按依次填m个空位来考虑：

假设有排好顺序的m个空位，从n个元素中任取m个去填空，一个空位填1个元素，每一种填法就对应一个排列，而要完成“这件事”可以分为m个步骤来实现.

根据分步乘法计数原理，全部填满m个空位共有种填法.

这样，我们就得到公式，其中，且.这个公式叫做排列数公式.

n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中，即有，就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示.所以n个不同元素的全排列数公式可以写成.另外，我们规定1.

于是排列数公式写成阶乘的形式为，其中，且.

注意：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.

2．组合

（1）组合的定义

一般地，从n个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

（2）组合数、组合数公式

从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.

，其中，且.这个公式叫做组合数公式.

因为，所以组合数公式还可以写成，其中，且.

另外，我们规定.

（3）组合数的性质

性质1：.

性质1表明从n个不同元素中取出m个元素的组合，与剩下的个元素的组合是一一对应关系.

性质2：.

性质2表明从个不同元素中任取m个元素的组合，可以分为两类：第1类，取出的m个元素中不含某个元素a的组合，只需在除去元素a的其余n个元素中任取m个即可，有个组合；第2类，取出的m个元素中含有某个元素a的组合，只需在除去a的其余n个元素中任取个后再取出元素a即可，有个组合.

考向一排列数公式和组合数公式的应用

这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系，也可以用这个关系去加强对公式的记忆.每个公式都有相应的连乘形式和阶乘形式，连乘形式多用于数字计算，阶乘形式多用于对含有字母的排列数或者组合数进行变形或证明.

典例1（1）若，，求的值；

（2）的值(用数字作答).

【答案】（1）7；（2）164.

【解析】（1）由题可得，即，

解得：或舍去），

.

（2）

＝（）

＝（）1

＝（）1

1

1

1

＝164．

【名师点睛】本题考查排列数组合数的运算，考查计算能力，属于基础题.（1）在解与排列数有关的方程或不等式时，应先求出未知数的取值范围，再利用排列数公式化简方程或不等式，最后得出问题的解.（2）利用求解．

1．（1）解不等式；

（2）证明：.

考向二排列问题的求解

解决排列问题的主要方法有：

（1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置.

（2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列.

（3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.

（4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.

（5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.

典例2室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的8个同学请出座位并且编号为1，2，3，4，5，6，7，8.经过观察这8个同学的身体特征，王老师决定，按照1，2号相邻，3，4号相邻，5，6号相邻，而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏，有________种排法.（用数字作答）

【答案】576

【解析】把编号相邻的3组同学每两个同学捆成一捆，这3捆之间有种排序方法，

并且形成4个空当，再将7号与8号插进空当中有种插法，

而捆好的3捆中每相邻的两个同学都有种排法.

所以不同的排法种数为.

2．一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有

A．6种 B．12种

C．36种 D．72种

考向三组合问题的求解

组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素