专题17 特殊平行四边形中最常考的五种几何模型（解析版）.pdfVIP

专题17特殊平行四边形中最常考的五种几何模型（解析版）

类型一对角互补模型

1．（2022春•江岸区校级月考）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形ABCO的一

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个顶点，且这两个正方形的边长相等．OA1与OC1分别交AB，BC于点E，F．

（1）求证：OE＝OF；

（2）若BE＝a，BF＝b，请直接写出四边形EBFO的面积为（用含有a，b的式子表示）；

（3）已知AE＝2，CF＝3，求AE的长．

1

思路引领：（1）由“ASA”可证△AOE≌△BOF，可得OE＝OF；

（2）由全等三角形的性质可得S△AOE＝S△BOF，AE＝BF，由正方形的面积公式可求解；

（3）由等腰直角三角形的性质可求EO，即可求解．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AO＝BO，∠AOB＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°，

∵∠AOE+∠EOB＝90°，∠BOF+∠EOB＝90°，

∴∠AOE＝∠BOF．

在△AOE和△BOF中，

∠=∠

=，

∠=∠

∴△AOE≌△BOF（ASA），

∴OE＝OF；

（2）解：∵△AOE≌△BOF，

∴S△AOE＝S△BOF，AE＝BF，

∴四边形EBFO的面积＝S△AOB，AB＝BE+AE＝a+b，

1

2

∴四边形EBFO的面积=（a+b）；

4

（3）如图，连接EF，

∵BF＝AE＝2，CF＝3，

∴BC＝5，

∴AE＝BC＝5，

1

∴BE＝3，

∴EF=2+2=4+9=13，

∵EO＝FO，∠EOF＝90°，

∴△EOF是等腰直角三角形，

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∴EO＝FO==，

22

26

∴AE＝5−．

1

2

总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，

灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

2．（2022•隆昌市校级三模）某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点

绕着矩形ABCD（AB＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②→③），图中M、N分别为直角三角板

的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．

（1）该学习小组中一名成员意外地发现：在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，BN2＝

22222

CD+CN；在图③（三角板的一直角边与OC重合）中，CN＝BN+CD．请你对这名成员在图①和图③

中发现的结论选择其一说明理由．

（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由．

思路引领：（1）连接DN，根据矩形得出OB＝OD，根据线段垂直平分线得出BN＝DN，根据勾股定理

求出DN的平方，即可求出答案；

（2）延长NO交AD于点P，连接PM，MN，证△BNO≌△DPO，推出OP＝ON，DP＝BN，根据线段

垂直平分线求出PM＝MN，根据勾股定理求出即可．

（1）选①，

证明：连接DN，