“托勒密不等式”与“托勒密定理”（学生版）-初中数学.pdf

托勒密定理与不等式模型

目录

模型简介1

例题讲模型2

模型一托勒密(定理)模型2

模型二托勒密不等式模型7

题型练习9

模型简介

一、相关史料

这里的“托勒密”是一个人名，英文单词为Ptolemy，约公元90年~168年，希腊数学家，天文学

家．他是古希腊天文学的集大成者，他的著作《天文学大成》在一千多年中都被奉为至典，阿拉伯

天文学家称之为《至大论》(Almagest)．以至于有人这样评价他，托勒密在天文学上的地位堪比欧

几里得之于几何学，牛顿之于物理学．

二、相似技巧

为了更好地理解“托勒密不等式”或“托勒密定理”的证明过程，我们先将相似中两个常见技巧

梳理一下．

1.“旋转相似”的性质(旋转相似必成对)

如图，△ABC∽△ADE(A，B的对应点分别为A，D)，若将这看成第1对相似三角形，则图中一定产生第

2对相似三角形．事实上，图形还有：△ABD∽△ACE．

2.相似中的速算技巧如图，△ABC∽△DEF(A，B的对应点分别是D，E)，已知AB=c，BC=a，DE=f，

求EF长x．

从“对应边成比例”的角度求出EF的长，即

fxaf

=cx=afx=

cac

1

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“相似”的本质是成比例放大，或成比例缩小．因此可以快速计算：ffaf

由于从cf，放缩系数为，因此从ax时，应x=a∙=.

下面来具体看看两个模型ccc

模型一托勒密(定理)模型例题讲模型

模型解读

托勒密定理：四边形ABCD内接于圆，求证：AC⋅BD=AD⋅BC+AB⋅CD．

模型证明

证明：如图，在BD上取一点P，使其满足∠1=∠2．

ACAD

∵∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP，