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《数值分析》教学大纲
课程基本情况
英文名称:NumericalAnalysis
总学时:36理论学时:36实践学时:0
总学分:2
课程性质:必修
考核方式:考试
适用对象:理工科研究生及高年级本科生
先修课程:《高等数学》《线性代数》《Matlab程序设计》
参考教材:1.数值分析(第二版),朱晓临主编中国科学技术大学出版社,2014
2.数值分析(第四版),颜庆津编著,北京航空航天大学出版社,2012.
二、课程目标
通过本课程的学习,使学生达到如下学习目标:
1.掌握数值计算的基本原理和方法,以及一些常用的计算技巧。
2.培养应用计算机使用数学方法解决问题的能力。
三、教学内容、教学方法和手段、学时分配
知识单元一:基本概念及误差分析(建议3学时)
教与学要求:理解截断误差、舍入误差、绝对(相对)误差和误差限、有效数字、算法的数值稳定性等基本概念。掌握数值计算中应遵循的几个原则:简化计算步骤以节省计算量(秦九韶算法),减少有效数字的损失(避免相近数相减),选择数值稳定的算法。
教与学方法:讲授
知识单元二:线性方程组的直接解法(建议3学时)
教与学要求:熟练掌握顺序Gauss消去法和列主元Gauss消去法的原理,并会应用之求解具体的方程组,理解选主元的优点。掌握三角分解法的原理,并会用直接三角分解法求解具体的方程组。掌握追赶法与平方根法的原理,并会应用之求解具体的方程组。知道向量和矩阵范数的概念与基本性质,掌握常用的向量和矩阵范数的计算,掌握矩阵谱半径的定义与计算,掌握矩阵范数和谱半径的大小关系,会计算条件数,掌握条件数大小与方程组病态程度的关系,知道条件数不小于1。
教与学方法:讲授
知识单元三:线性方程组的迭代法(建议3学时)
教与学要求:理解迭代法的基本概念,掌握基本型迭代的公式。熟悉Jacobi迭代与G-S迭代的公式及迭代矩阵。熟练掌握迭代法收敛性充要条件与收敛性充分条件、Jacobi迭代与G-S迭代的收敛性判定,知道收敛速度与迭代矩阵谱半径(范数)大小的关系了解SOR法及其收敛性结论。
教与学方法:讲授
知识单元四:非线性方程的数值解法(建议3学时)
教与学要求:掌握二分法及其误差估计。理解不动点迭代法,掌握迭代法的局部收敛条件与收敛阶的判定。熟悉Newton迭代法及其收敛性结论,掌握Newton法的应用(如应用于代数方程等特殊方程)。
教与学方法:讲授
知识单元五:插值方法(建议6学时)
教与学要求:理解插值问题的基本概念、插值多项式的存在唯一性。熟悉Lagrange插值公式(线性插值、抛物插值、n次Lagrange插值),掌握其余项表达式(及各种插值余项表达式形式上的规律性)。熟悉Newton插值公式,了解其余项公式,会利用均差表和均差的性质计算均差。掌握两点三次Hermite插值及其余项表达式,会利用承袭性方法构造非标准Hermite插值。知道Runge现象,了解分段插值的概念,掌握分段线性插值(分段表达式)。
了解三次样条函数与三次样条插值的定义。
教与学方法:讲授
知识单元六:曲线拟合与函数逼近(建议3学时)
教与学要求:掌握函数正交和正交多项式的概念(函数内积、2-范数、权函数,正交函数序列,正交多项式),了解Legendre多项式。熟练掌握曲线拟合最小二乘法的原理和解法(只要求线性最小二乘拟合),会求超定方程组的最小二乘解。了解最佳平方逼近函数的概念,掌握最佳平方逼近多项式的求法(从法方程出发)。
教与学方法:讲授
知识单元七:数值微积分(建议6学时)
教与学要求:掌握插值型求积公式(系数表达式),理解代数精度概念,会利用代数精度构造求积公式。掌握梯形公式和Simpson公式,了解其余项公式与代数精度的联系,了解系数之和的性质,掌握稳定性条件;理解复化求积方法的思想。理解Gauss型求积公式的概念(最高代数精度、插值型),掌握构造Gauss型求积公式的方法(Gauss点和系数的求法),掌握其数值稳定性结论。掌握常用的几个一阶差商公式。
教与学方法:讲授
知识单元八:特征值近似计算(建议3学时)
教与学要求:掌握特征近似计算的基本原理,理解幂法与反幂法,及其QR方法的实现途径,了解Jacobi方法。
教与学方法:讲授
知识单元九:微分方程数值解法(建议6学时)
教与学要求:理解数值解的概念,掌握初值问题数值解法的特点(步进式)。掌握Euler公式、隐式Euler公式和梯形公式,会推导其局部截断误差,并判断方法的阶;了解改进的Euler公式。知道Runge-Kutta方法的原理,掌握经典4阶Runge-Kutta公式的特点(性质)。知道线性多步法的一般形式与构造途径。掌握单步法的收敛性与稳定性
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