专题28 二次函数综合题——存在性正方形类（原卷版）.pdf

2023年八升九数学暑假培优计划

专题28二次函数综合题——存在性正方形类

=2++:=−1(0,−1)

1．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为，直线l与x

轴相交于点C．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作⊥轴，⊥，垂足分别为A，B．设点P

的横坐标为m．当四边形为正方形时，求m的值．

12

=−++(6,0)

2．如图，抛物线2与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．点B坐标为，点C坐标

为(0,6)，点D是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；

(2)点M是抛物线上的动点，过点M作∥轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在

点Q，使得以线段为对角线的四边形为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明

理由．

12

=−++

3．如图，抛物线4的对称轴与x轴交于点(1,0)，与y轴交于点(0,3)，C为该抛物线图象

上的一个动点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，当点C在第一象限，且∠=90°，求tan∠的值；

(3)点D在抛物线上（点D在点C的左侧，不与点B重合），点P在坐标平面内，问是否存在正方形？

若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

=−2++

4．如图，抛物线经过点(−1,0)，点(3,0)，与y轴交于点C．点P是抛物线上的动点，

且横坐标为m．过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，以为边，在的右侧作正方形．

(1)求此抛物线的解析式．

(2)点P在直线上方的抛物线上运动时，直接写出的长．（用含m的代数式表示）

(3)抛物线的顶点落在正方形的边上（包括顶点）时，求m的值．

(4)当此抛物线在正方形内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，直接写出m的值．

5．综合与探究

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=++6=−4

如图，抛物线与x轴交于(−2,0)，(4,0)两点，与y轴交于点C，直线3与x轴交

于点D，与y轴交于点E．若M为第一象限内抛物线上一点，过点M且垂直于x轴的直线交DE于点N，

连接，．

(1)求抛物线的函数表达式及D，E两点的坐标．

(2)当=时，求点M的横坐标．

(3)G为平面直角坐标系内一点，是否存在点M使四边形是正方形．若存在，请直接写出点G的坐标；

若不存在，请说明理由．

=−2+2+3

6．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．连

接BC．点P是抛物线第一象限内的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线⊥轴于点D．交

于点E．过点P作的平行