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《二项式系数的性质》题型突破

重点难点突破

1.二项式系数的有关性质的探究过程体现了观察、猜想、证明、归纳的数学方法,并且在归纳证明的过程中运用了函数思想、方程思想等,大致对应如下：

对称性运用了组合数的性质

增减性与最大值运用了组合数公式和函数与方程思想

各二项式系数和运用了特殊与一般思想、函数与方程思想

2.二项式系数最大的项与二项展开式中系数的最大值

(1)求二项式系数最大的项,可根据二项式系数的性质,当为奇数时,展开式中间两项的二项式系数最大;当为偶数时,展开式中间一项的二项式系数最大.

(2)求解二项展开式中系数的最大值问题有两种思路.思路一,二项展开式中的系数是关于自然数的式子,可以看成关于的函数,利用判断函数单调性的方法判断系数的增减性,从而求出系数的最大值;思路二,在系数均为正值的前提下,求它们的最大值只需比较假定系数最大者与其相邻两个系数的大小,根据其展开式的通项正确地列出不等式组求解即可.

3.根据二项式系数的性质求参数的关键是正确列出与参数有关的关系式,然后解此关系式即可.必要时,需检验所求参数是否符合题目要求.

4.展开式中系数和的求法

“赋值法”是解决二项展开式中项的系数和有关问题的常用的方法,一般根据题目要求,灵活赋予字母不同的值再求解.

(1)对形如,的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令即可;对形如的式子求其展开式的各项系数之和,只需令即可.

(2)一般地,若,则的展开式中各项系数之和为,奇数项系数之和为,偶数项系数之和为.

典型例题剖析

题型1求二项展开式中系数或二项式系数最大的项

例1已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992,求的展开式中:

(1)二项式系数最大的项;

(2)系数的绝对值最大的项.

解析:先令,分别求得与的展开式的系数和,利用两者的差为992列方程,解方程求得的值.(1)由于,则,故二项式系数最大的项为第6项,根据二项展开式的通项求得这项.(2)设展开式的第项的系数的绝对值最大,先化简二项展开式的通项,求得系数绝对值,再利用系数绝对值最大项比前后两项的系数的绝对值都大列不等式组,解不等式组求得的取值范围,由此求得的值,便可求解问题.

答案:由题意,得与的展开式的系数和分别为,则,解得.

(1)的展开式中有11项,则第6项的二项式系数最大.该展开式中的通项为.,则根据题意得.

(2)设该展开式的第项的系数的绝对值最大,

由该展开式的通项为,则系数的绝对值为,所以

得

得

即

所以,

因为,所以.

故系数的绝对值最大的项是第4项,为.

总结归纳

求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的.求解前者时一般需根据各项系数的正、负变化情况,采用列不等式组,解不等式组的方法求解.一般地,在系数均为正值的前提下,如果第项的系数最大,则与之相邻两项(第项、第项)的系数均不大于第项的系数,由此列不等式组可确定的范围,再依据来确定的值,进而可求出展开式中系数最大的项.

变式训练1已知的展开式中所有的二项式系数之和为128.求:

(1)展开式中二项式系数最大的项;

(2)展开式中系数最大的项.

答案:由题意,知,所以.

(1)因为,所以的展开式中有8项,根据二项式系数性质可得二项式系数最大的项是第4项与第5项.又展开式的通项为,则.

(2)设该展开式的第项的系数最大,

则有,得得.

由于,故,所以系数最大的项是第6项,即.

解析:由题意易求得.(1)根据二项式系数的性质与二项展开式的通项可得答案:;(2)设该展开式的第项的系数最大,列出不等式组,解不等式组可得,由此可求得系数最大的项.

题型2求二项展开式的系数和

例2已知.,求:

(1)的值;

(2)的值;

(3)的值.

解析:先观察所求式子与展开式各项的特点,利用赋值法求解.

答案:(1)令,得.①

(2)令,得.②

由①-②,得,

所以.

(3)因为展开式的通项为,

所以展开式中奇数项的系数为正,偶数项的系数为负.

所以.

规律总结

利用赋值法求二项展开式中的系数和时,若,则.

变式训练2在本例条件不变的情况下,求的值.

答案:由

两式相加得,

所以.

又令,得,

所以

题型3二项式系数性质的综合应用

例3已知数列的首项为1,令.

(1)若数列为常数列,求的解析式;

(2)若数列是公比为3的等比数列,试求数列的前项和.

解析:(1)由题意,得到,结合二项式系数的性质,即可求解;(2)先求得,得到,进而求得,结合等比数列的前项和公式,即可求解.

答案:(1)由数列为常数列,且,知,

所以.

(2)由题意,得.

所以,

所以,易知数列是以4为首项,4为公比的等比数列.

由等比数列的前项和公式,可得.

变式训练3已知.

(1)若其展开式中的第5项、第6项与第7项的二