数值积分（基于MATLAB）课件 chapter2_插值法 .ppt

由可将它写成即插值点的Lagrange一次基函数.可得满足条件的三次埃尔米特插值多项式为定理4设f(x)在包含x0、x1的区间[a,b]内存在四阶导数，则当x∈[a,b]时有余项设则当x∈(x0,x1)时,余项有如下估计式（误差限）2.5.2误差估计且与x有关)例2已知f(x)=x1/2及其一阶导数的数据见下表,用埃尔米特插值公式计算1251/2的近似值,并估计其截断误差.x121144f(x)1112f(x)1/221/24解得由可求得2.6分段低次插值先看下面的例子对?(x)=(1+25x2)-1,在区间[-1,1]上取等距节点xi=-1+ih,i=0,1,…,10,h=0.2,作?(x)关于节点xi(i=0,1,…,10)的10次插值多项式L10(x),如图所示xyo1-10.511.5y=L10(x)这个现象被称为Runge现象.表明高次插值的不稳定性.实际上,很少采用高于7次的插值多项式.2.6.1分段线性插值求一个分段函数P(x),使其满足:P(xi)=yi(i=0,1,...,n);在每个子区间[xi，xi+1]上是线性函数.称满足上述条件的函数P(x)为分段线性插值函数.分别作线性插值得,在每个子区间[xi，xi+1]已知或由线性插值的误差即得分段线性插值在区间[xi,xi+1]上的余项估计式为因此,在插值区间[a,b]上有余项2.6.2分段抛物线插值(2)在每个子区间[xi-1,xi+1]上，L(x)是次数不超过2的多项式.称满足上述条件的函数L(x)为分段抛物线插值函数.L(xi)=yi(i=0,1,...,n);对求一个分段函数L(x),使其满足:即将区间[a,b]分为小区间[xi-1,xi+1](i=1,2,…,n)证由插值条件和?n+1(x)的定义,当x=xk时,式子显然成立,并且有?n+1(xk)=0(k=0,1,…,n),这表明x0,x1,…,xn都是函数?n+1(x)的零点,从而?n+1(x)可表示为其中K(x)是待定函数。对于任意固定的x?[a,b],x?xk,构造自变量t的辅助函数由式?n+1(xk)=0和式Ln(xk)=yk(k=0,1,…,n),以及可知：x0,x1,?,xn和x是?(t)在区间[a,b]上的n+2个互异零点,因此根据罗尔(Rolle)定理,至少存在一点?=?(x)?(a,b),使即所以一般来说,外推比内插效果差,在估计误差时下列不等式很有用。的抛物插值多项式,且计算f(3)的近似值并估计误差。例3设解插值多项式为因为故于是用二次插值计算ln11.25的近似值,并估计误差.例4给定函数表x10111213lnx2.3025852.3978952.4849072.564949解取节点x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值有ln11.25?L2(11.25)在区间[10,12]上lnx的三阶导数的上限M3=0.002,可得误差估计式实际上,ln11.25=2.420368,|R2(11.25)|=0.000058.2.4.1差商及其基本性质定义1称为f(x)在x0、x1点的一阶差商.一阶差商的差商称为函数f(x)在x0、x1、x2点的二阶差商.英1642-17272.4差商与牛顿插值公式一般地，n-1阶差商的差商称为f(x)在x0,x1,…,xn点的n阶差商。差商的计算步骤与结果可列成差商表，如下一般f(xi)称为f(x)在xi点的零阶差商，记作f[xi]。xk函数值一阶差商二阶差商三阶差商...x0x1x2x3...f(x0)f(x1)f(x2)f(x3)...