2025年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明(含详解).docxVIP

2025年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

1．已知四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD，若BD是⊙O的直径，AC平分∠BCD，过A作∠BAE＝∠BDA，AE与CB的延长线交于点E．

(1)求证：AE是⊙O的切线；

(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留）．

2．如图，是的直径，与相切于点，．

(1)求证：；

(2)若，求的半径．

3．如图，已知是的直径，点D在的延长线上，为的切线，过D作，与的延长线相交于E，，．

（1）求证：；

（2）求的半径；

（3）若的平分线与交于点F，P为的内心，求的长．

4．如图，是的直径，与交于，弦平分，，垂足为．

(1)判断直线与的位置关系，并说明理由．

(2)若的半径为3，若，求线段．

5．如图，已知是的直径，，连接交于点，切于点，交的延长线于点，交于点．

（1）求证：；

（2）连结，如果，，求的半径．

6．如图，为⊙O的直径，弦于，为延长线上一点，交⊙O于点，连接，，，，．

（1）求证：平分．

（2）若，，⊙O的半径为5，求的长．

7．如图，已知在中，，以为直径的分别交，于D，E两点，于点F，且．

????

(1)求证：是的切线．

(2)若，求的半径．

8．如图，四边形内接于，，点E在的延长线上，．

(1)求证：是的切线；

(2)若，，求的半径．

9．如图，是的直径，点在上，，与相交于点，点在的延长线上，且．

??

(1)求证：是的切线；

(2)若，，求的值．

10．如图，AB是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是AB上的一点，，交CD的延长线于点，且．

??

(1)求证：是的切线；

(2)若的半径为，，则的长为______．

11．如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．

(1)求证：AP是⊙O的切线；

(2)连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；

(3)若，求的值．

12．如图，是的外接圆，是的直径，C是延长线上一点，在上，连接，若．

(1)求证：为的切线；

(2)若，，求的长．

13．如图，在中，，为外接圆的直径，点为延长线上一点，连接，且．

??

(1)求证：是的切线：

(2)若，，求的长．

14．如图，为圆O的直径，C为圆O上一点，D为弦的中点，过点C的切线与的延长线相交于点E，连接．

(1)求证：是圆O的切线；

(2)当，时，求线段的长．

15．如图，内接于，且为的直径，的平分线交于点，过点在左侧作交的延长线于点，过点作于点．

??

(1)求证：；

(2)求证：是的切线；

(3)若，，求线段的长．

参考答案：

1．(1)见解析

(2)

【详解】（1）连接，如图，

AC平分∠BCD，

，

，

，

是直径，

，

是等腰直角三角形，

，

，

，

，

∠BAE＝∠BDA，

，

，

，

是上的点，则为半径，

是的切线

（2）如图，过点作，

是等腰直角三角形

是等腰直角三角形

在中，

2．(1)见解析

(2)

【详解】（1）证明：连接，

是的直径，与相切于点，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

（2）解：由（1）得：，

，

，，

，

，

，

，

，

的半径为．

3．（1）证明见解析；（2）2；（3）．

【详解】证明：（1）如图，连接，

，

，

是的切线，

，即，

，

，

，

，

；

（2）设的半径为，则，

，

，

由（1）已证：，

，

在中，，即，

解得，

即的半径为2；

（3）如图，连接，

是的直径，

，

平分，

，

由圆周角定理得：，

是等腰直角三角形，，

，

由（2）已得：，

，解得，

为的内心，

，

，

．

4．(1)直线与相切，见解析

(2)

【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：

连接，

平分，

，

，

，

，

，

，即，

，即，

是半径，

是的切线；

（2）解：过作于，

，

，，

，

，

，

四边形是菱形，

，，

，则，

．

5．（1）见解析；（2）5

【详解】解：（1）证明：连接OD，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵切于点，

∴，

∴，

即．

（2）∵，即

∴设，，

∴由勾股定理得，，

∵，

∴，

∴，

在中，，

∴

解得，

∴OD=5

∴圆的半径等于5．

6．（1）见解析；（2）

【详解】（1）证明：∵C、D、B、F四点共圆，

∴∠EFB=∠CDB，∠BCD=∠DFB，

∵CD⊥OA，

∴CH=DH，

∴BC=BD，

∴∠BCD=∠CDB，

∴∠EFB=∠DFB，

∴BF平分∠DFE；

（2）解：∵在△DFB和△EFB中，

，

∴△DFB≌△EFB（SAS），

∴BD=BE，

∵BE=8，

∴BD=8，

∵AB为⊙O直径，CD⊥AB，

∴∠ADB=∠DHB=90°，

∵∠DBH=∠ABD，

∴△DHB∽