命题逻辑与谓词逻辑的推理方法.pdfVIP

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证明方法

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问题1：如何基于命题逻辑进行推理？

-蕴含永真式导出推理规则

问题2：什么是(一阶)谓词逻辑？

-命题逻辑+谓词+量词；量化表达式

问题3：如何基于谓词逻辑进行推理？

-命题逻辑的推理+全称/存在例示/生成

本节提要

问题1：什么叫证明？

问题2：常见的证明方法有哪些？

问题3：什么是猜想？有哪些有意思的猜想？

定理与证明

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定理(theorem)

能够被证明为真的陈述，通常是比较重要的陈述。

证明(proof)

表明陈述(定理)为真的有效论证。

定理证明中可以使用的陈述:

公理(不证自明的基本事实)

(当前)定理的前提

已经证明的定理(推论、命题、引理)

例

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定理的陈述(举例)

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如果xy，其中x和y是正实数，那么xy。

如何表达

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xy((xy)→(xy))//论域为正实数

如何证明

定理的陈述为:x(P(x)→Q(x))

先证明，对论域中的任一元素c，P(c)→Q(c)

再使用全称引入，得到x(P(x)→Q(x))

归纳推理的证明方式

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归纳推理的证明方式

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演绎推理的证明方式

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演绎推理的证明方式

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本节提要

问题1：什么叫证明？

-表明定理为真的有效论证（演绎推理）

问题2：常见的证明方法有哪些？

问题3：什么是猜想？有哪些有意思的猜想？

直接证明法

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间接证明法

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空证明法(前件假证明法)

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平凡证明法(后件真证明法)

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归谬法(反证法)

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归谬法

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广义归谬法

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穷举法(分情形证明)

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穷举法

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穷举法

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等价性证明

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存在性证明

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唯一性证明

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构造性证明法

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反例法(命题为假的证明)

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证明中的错误

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本节提要

问题1：什么叫证明？

-表明定理为真的有效论证；演绎推理

问题2：常见的证明方法有哪些？

-直接证明、间接证明、归谬法、分情形证明、

等价性证明、存在性证明、唯一性证明

问题3：什么是猜想？有哪些有意思的猜想？

猜想

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猜想

被认为是真的（有意思的）陈述，还未证明其真假

被证明为真：定理

◼例：庞加莱猜想、四色猜想、费马猜想

被证明为假：推翻

◼例：费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费

马数都是素数

被证明为不可证明

◼例：连续统假设在集合论公理系统内不可证明/证伪

费马猜想-费马大定理

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PierredeFermat(1601-1665),France

Fermat’sLastTheorem(1637)（费马大定理）

nnn

x+y=z(n2