数学-2025届高三12月大联考考后强化卷（新课标卷）（全解全析）-A4.docx

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2025届高三12月大联考考后强化卷（新课标卷）

数学·全解全析

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3

4

5

6

7

8

9

10

11

C

A

C

C

D

C

D

A

BCD

AD

ACD

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C【解析】由，得，解得或，即或.

又，所以.故选C.

2．A【解析】由，得，所以,

所以的虚部为.故选A.

3．C【解析】设圆锥的母线长为，高为，底面半径.由，得，

所以，所以圆锥的体积．故选C．

4．C【解析】由题意，知，所以.故选C.

5．D【解析】设，又，所以，所以当时，.故选D．

6．C【解析】对于A，令，，则，所以是偶函数，

故A错误；

对于B，易知在和上单调递增，在和上单调递减，故B错误；

对于C，令，，则，

所以是奇函数.又，所以是上的增函数，故C正确；

对于D，令，，则，

所以函数在和上单调递增，但在定义域上不单调，故D错误.故选C.

7．D【解析】当时，，所以原方程可化为.

令，，则原方程在上实数根的个数即为函数与的图象在上的交点个数.当时，，

所以在上单调递增.又的最小正周期，

区间的长度超过的3个周期的长度而小于4个周期的长度，

作出函数和的大致图象，如图，

且，，.

由图，知与的图象在区间上有7个交点，

也即原方程在上实数根的个数为7.故选D．

8．A【解析】因为函数为偶函数，所以，即，

也即，也即对于恒成立，所以，所以．

当时，.因为在上单调递增，所以.

又在上单调递增，所以.

因为在上单调递增，，且，

所以，即．故选A．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．BCD【解析】当时，这组数据的中位数为，故A错误；

当时，这组数据的众数为3，故B正确；

当时，，故C正确；

当这组数据的平均数为2.2时，，

则，当且仅当，

即时等号成立，故D正确．故选BCD.

10．AD【解析】因为，所以，所以，

所以，所以的图象关于点对称，故A正确；

由，得且，故B错误；

因为当时，，由，得，

所以在上单调递减，所以，故C错误；

由，得，

所以在上，，单调递增，在上，单调递减.

又，作出的大致图象如图所示，D选项中，当时，.由图，知的最大值为，故D正确.故选AD.

11．ACD【解析】如图，对于A，由抛物线，知其焦点在y轴上，的坐标为，故A正确；

对于B，依题意，直线的方程为，且直线与抛物线必相交，

联立消去x化简并整理，得，．

设，，则，所以，故B错误；

对于C，由抛物线，得其准线方程为．

设M，N到准线的距离分别为，，则，

所以线段的中点到x轴的距离为，故C正确；

对于D，结合C选项，得以线段为直径的圆的半径．

又，则以线段为直径的圆的圆心为，所以圆心到x轴的距离为，

所以以线段为直径的圆与x轴相切，故D正确．故选ACD．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．1【解析】由题意，得.又曲线在处的切线斜率为4，所以，解得.故填1.

13．【解析】由题意，得的所有可能取值为，且，，

，，所以.

故填.

14．【解析】记双曲线的左、右焦点分别为，，因为直线过点，所以.

由，得，所以，

联立，解得，，所以，解得，

所以双曲线的离心率的最大值为.故填.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）

【解析】（1）由，得，即.（1分）

由正弦定理，得.（2分）

因为，

所以，即.（3分）

又，所以，所以，所以.（4分）

因为，所以.（5分）

（2）在中，由正弦定理，得，（6分）

所以.（8分）

因为为锐角三角形，所以解得，（10分）

所以，所以，（12分）

所以面积的取值范围为.（13分）

16．（15分）

【解析】（1）如图，由题意，知.

因为椭圆C的离心率为，所以，（1分）

所以，所以是正三角形.

若直线，则直线垂直平分线段，所以.（2分）

因为的周长为，所以的周长为.（3分）

由椭圆的定义，知，所以的周长为，

所以，（4分）

所以，，（5分）

所以椭圆的标准方程为.（6分）

（2）由题意，设直线的方程为，，则，如图，（7分）

得直线的方程为.（8分）

将代入直线的方程，得，（9分）

整理，得.（10分）

联立得，，（11分）

由根与系数的关系，得，（12分）

所以，即，（13分）

代入式，得直线的方程为，（14分）

所以直线过定点.（15分）

17．（15分）

【解析】（1）由，得.

因为是的极值点，所以，解得.（1分）

当时，.（2分）

由，得，