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专题03逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
2.全称量词与存在量词
(1)理解全称量词与存在量词的意义.
(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
一、逻辑联结词
1.常见的逻辑联结词:或、且、非
一般地,用联结词“且”把命题p和q联结起来,得到一个新命题,记作,读作“p且q”;
用联结词“或”把命题p和q联结起来,得到一个新命题,记作,读作“p或q”;
对一个命题p的结论进行否定,得到一个新命题,记作,读作“非p”.
2.复合命题的真假判断
“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表(真值表)来确定:
p
q
真
真
假
假
真
真
假
假
假
假
真
假
假
真
真
假
假
真
真
假
假
真
真
假
真
假
假
真
真
假
假
假
真
真
假
假
真
真
真
真
3.必记结论
含有逻辑联结词的命题的真假判断:
(1)中一假则假,全真才真.
(2)中一真则真,全假才假.
(3)p与真假性相反.
注意:命题的否定是直接对命题的结论进行否定;而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆这两者的概念.
二、全称命题与特称命题
1.全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词
存在一个、至少一个、有些、某些等
2.同一个全称命题、特称命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表述方法,在实际应用中可以灵活地选择.
全称命题“”
特称命题“”
表述方法
对所有的成立
存在成立
对一切成立
至少有一个成立
对每一个成立
对有些成立
任选一个成立
对某个成立
凡,都有成立
有一个,使成立
3.含有一个量词的命题的否定
全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,如下所示:
命题
命题的否定
考向一判断复合命题的真假
1.判断“”、“”形式复合命题真假的步骤:
第一步,确定复合命题的构成形式;
第二步,判断简单命题p、q的真假;
第三步,根据真值表作出判断.
注意:一真“或”为真,一假“且”为假.
2.不含逻辑联结词的复合命题,通过辨析命题中词语的含义和实际背景,弄清其构成形式.
3.当为真,p与q一真一假;为假时,p与q至少有一个为假.
典例1已知命题:若实数满足,则互为相反数;命题:若,则.下列命题,,,中,真命题的个数是
A.1 B.2
C.3 D.4
【答案】B
【解析】由题意,知命题为真命题;
命题:当时,成立,所以,所以命题为真命题,
所以命题为真命题;为真命题;为假命题;为假命题,
所以真命题的个数是2个,故选B.
【名师点睛】本题主要考查了命题的真假判断,其中解答中先判定命题的真假,再结合复合命题的真假关系判定真假是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
1.辨别复合命题的构成形式时,应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词,或语句的意义确定复合命题的形式.
2.准确理解语义应注意抓住一些关键词.如“是…也是…”,“兼”,“不但…而且…”,“既…又…”,“要么…,要么…”,“不仅…还…”等.
3.要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式.
如:a≥3是a3或a=3;xy=0是x=0或y=0;x2+y2=0是x=0且y=0.
1.若命题:,,命题:,,则下列命题中是真命题的是
A. B.
C. D.
考向二判断全称命题与特称命题的真假
要确定一个全称命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称命题是假命题.
要确定一个特称命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立,则该特称命题是假命题.
典例2下列命题中是假命题的是
A.使
B.,函数都不是偶函数
C.使是幂函数,且在上单调递减
D.,函数有零点
【答案】B
【解析】对于选项A,如当时,所以选项A的命题为真命题;
对于选项B,当时,函数
是偶函数,因此选项B中的命题为假命题;
对于选项C,如当时,,在上单调递减,所以选项C中的命题为真命题;对于选项D,当时,,则,所以,函数有零点,所以选项D中的命题为真命题.
【名师点睛】全称命题与特称命题的真假判断在高考中出现时,常与数学中的其他知识点相结合,题型以选择题为主,难度一般不大.
2.若命题“使”是假命题,则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
3.若命题:,;命题:,,若为真命题,求实数的取值范围.
考向三含有一个量词的命题的否定
一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题,并找到其量词的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词,同时否定结论.
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