天津市八校联考2024届高三上学期期末质量调查数学试卷（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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天津市八校联考2024届高三上学期期末质量调查数学试卷

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题

1.已知全集，集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】，，，

，

.

故选：B.

2.若，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为，解得或，

当时，；

当时，；

所以不是的充分条件；

当时，即，

所以必要性成立，

故若，则“”是“”的必要不充分条件，

故选：B

3.已知，，，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】，，

，所以.

故选：C

4.函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】由图象可得，据此排除BCD.

故选：A.

5.已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车和客车中途停车修理的概率分别为和，则一辆汽车中途停车修理的概率为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】事件表示一辆汽车中途停车修理，

事件表示该汽车是货车，

事件表示该汽车是客车，

则，，

，，

则

.

故选：C

6.已知，，m为实数，若，则向量在上的投影向量为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】根据题意可知，

由可得，解得，所以；

所以向量在上的投影向量为.

故选：D.

7.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体组合而成（如图1），也可由正方体切割而成（如图2）．在“蒺藜形多面体”中，若正四面体的棱长为2，则该几何体的体积为（）

A. B.2 C. D.4

【答案】A

【解析】因为，所以，，

设，则到的距离为，

所以蒺藜形多面体体积为正方体体积减去，

即.

故选：A

8.已知过原点O的直线与双曲线交于A，B两点（点A在第一象限），，分别为双曲线E的左．右焦点，延长交E于点C，若，，则双曲线E的渐近线方程为（）

A B.

C. D.

【答案】A

【解析】如下图所示：

连接，

由直线过原点并利用双曲线的对称性可知，关于原点对称，也关于原点对称；

可得四边形为平行四边形，所以，

由双曲线定义可得，即，

又，可得，

由可得，又可得为正三角形，

所以，可得，即；

又，所以，即

可得渐近线方程为；

故选：A

9.已知函数的对称中心到对称轴的最小距离为，将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，且关于函数有下列四种说法：

①是的一个对称轴；②是的一个对称中心；

③在上单调递增；④若，则，．

以上四个说法中，正确的个数为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】根据题意由对称中心到对称轴的最小距离为可得，即，得；

将的图象向右平移个单位长度后可得，

其图象关于y轴对称，所以为偶函数，则，，

解得，，由可知当时，符合题意；

由可得；

因此；

对于①，当时，，取得最大值，

所以是的一个对称轴，即①正确；

对于②，当时，，

所以不是的一个对称中心，即②错误；

对于③，当时，可得，又在上不单调，

所以在上不是单调递增的，所以③错误；

对于④，若，由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期，

所以任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍，

由的周期为可得，，即④正确；

所以正确的个数只有①和④共2个.

故选：B.

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题

10.若复数z满足（其中是虚数单位），则z的虚部为______．

【答案】2

【解析】由题意可得；

由虚部定义可得z的虚部为2.

故答案为：2

11.的展开式中，项的系数为______.（用数字作答）

【答案】

【解析】展开式的通项公式为，

由得，所以的展开式中项的系数为，

故答案为：

12.已知直线与⊙：交于A，B两点，写出满足“面积为”的实数的一个值______（写出其中一个即可）

【答案】（答案不唯一）

【解析】设圆心到直线的距离为，则，

由，解得：或

若，则或；

若，则或.

故答案为：（，，任意一个也对）

13.学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表：

天数x

1

2

3

4

5

6

7

一次最多答对题数y

12

15

16

18

21

24

27

参考数据：，，，，，

相关系数

由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是______相关（填“正”或“负”），其相关系数_____